Biết đường thẳng y=(3m-1)x+6m+3 cắt đồ thị hàm số y=x^3-3x^2+1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm

Phương pháp giải:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là số nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)(*)$

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình $(*).$

Tìm m để phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt.

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm $A,B,C.$ Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=(3m-1)x+6m+3$ và đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ là:

$(3m-1)x+6m+3=x^3-3x^2+1$

$\iff x^3-3x^2+1-(3m-1)x-6m-3=0$

$\iff x^3-3x^2-(3m-1)x-6m-2=0(*)$

Gọi $x_1,x_2,x_3$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình $(*).$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=3\left(1\right)\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=-(3m-1)\left(2\right)\\ x_1{x}_2{x}_3=6m+2\left(3\right)\end{array}$

Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ và $C(x_3;y_3).$

Giả sử B là điểm cách đều $A,C$ $\Rightarrow B$ là trung điểm của AC $\Rightarrow x_1+x_3=2x_2.$

$\Rightarrow \left(1\right)\iff 3x_2=3\iff x_2=1$

Thay $x_2=1$ vào phương trình $(*)$ ta được:

$(*)\iff 1-3-(3m-1)-6m-2=0$$\iff -4-3m+1-6m=0$$\iff -9m=3$$\iff m=-\frac{1}{3}$

Với $m=-\frac{1}{3}$ ta được: $(*)\iff x^3-3x^2+2x=0$ $\iff x(x^2-3x+2)=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}$

$\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$ thỏa mãn bài toán.

$\Rightarrow m\in (-1;0).$

Đáp án D