Gọi (d ) là đường thẳng đi qua (A left( {2;0} right) ) có hệ số góc (m left( {m >0} right) ) cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt (A,B,C. ) Gọi (B',C' ) lần lượt là hình chiếu vuông gó...

* Hướng dẫn giải

Cách 1:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(m\) và đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) là \(y = mx - 2m\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow A\left( {2;0} \right).\) Do đó: \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) khác \(2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 3 - m >0\\{2^2} - 4.2 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m >- 3\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Theo định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.,\) mà \(m >0 \Rightarrow m + 1 >0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} >0\\{x_1}.{x_2} >0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} >0\\{x_2} >0\end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right)\) và \(C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right) \Rightarrow B'\left( {0;m{x_1} - 2m} \right)\) và \(C'\left( {0;m{x_2} - 2m} \right).\)

\( \Rightarrow B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|;BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1};CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)

Ta có: \({S_{BB'C'C}} = \frac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16\)

\( \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16\)

\( \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){\left( {m - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) hoặc \(m = 2\)

Vì \(0 < m < 3 \Rightarrow m = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;5} \right).\)

Cách 2:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(m\) và đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) và \(y = m\left( {x - 2} \right)\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2{\rm{ }}\left( C \right)\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow - 6x = - 12 \Leftrightarrow x = 2;f\left( 2 \right) = 0\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận điểm \(A\left( {2;0} \right)\) làm điểm uốn.

\( \Rightarrow B\) và \(C\) đối xứng nhau qua \(A;B'\) và \(C'\) đối xứng nhau qua \(O\)

\( \Rightarrow OA\) là đường trung bình của hình thang \(BB'C'C \Rightarrow \frac{{BB' + CC'}}{2} = OA = 2\)

Diện tích của hình thang \(BB'C'C\) bằng \(8 \Rightarrow B'C' = 4\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \({y_B} >0 \Rightarrow {y_B} = 2 \Rightarrow - {x_B}^3 + 6x_B^2 - 9{x_B} + 2 = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_B} = 0\\{x_B} = 3\end{array} \right.\)

+ \({x_B} = 0 \Rightarrow B\left( {0;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)\) có phương trình \(y = - x + 2 \Rightarrow m = - 1 < 0\) (loại).

+ \({x_B} = 3 \Rightarrow B\left( {3;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)\) có phương trình \(y = 2x - 4 \Rightarrow m = 2\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị của \(m\) thuộc khoảng \(\left( {1;5} \right).\)

Đáp án D