Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^3} - 5{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 3\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = f\left( {\le...

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

TH1: \(m = 1\). Khi đó hàm số trở thành: \(f\left( x \right) =  - 5{x^2} + 4x + 3\).

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 10x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}\).

BBT:

Từ đó ta suy ra BBT của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:

Hàm số có 3 điểm cực trị, do đó \(m = 1\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 1\).

Để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 3 điểm cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị trái dấu.

Ta có: \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 10x + m + 3 = 0\).

Để hàm số có 2 cực trị trái dấu \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm trái dấu

\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 1\).

Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\).

Kết hợp các trường hợp ta có \(m \in \left\{ { - 2; - 1;\;0;\;1} \right\}\).

Chọn B.