Chứng minh đẳng thức véc tơ, phân tích véc tơ có lời giải chi tiết

Câu hỏi 1 :

Cho 6 điểm \(A,\, B,\, C,\, D,\, E, \, F.\) Chứng minh rằng:\(\begin{array}{l}
1.\,\,\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \\
2.\,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \\
3.\,\,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} .
\end{array}\)

Câu hỏi 2 :

Cho tứ giác \(ABCD,\) gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\) và \(O\) là trung điểm của \(EF.\) Chứng minh rằng:\(1.\,\,\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 .\\ 2.\,\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} .\)

Câu hỏi 3 :

Cho \(\Delta ABC,\) bên ngoài \(\Delta ABC,\) ta vẽ hình bình hành \(ABIJ,\,\,\,BCPQ,\,\,CARS.\) Chứng minh rằng:\(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \overrightarrow 0 .\)

Câu hỏi 4 :

Cho \(\Delta ABC,\) gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) 1.Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow 0 .\) 2.Đặt \(\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow u ,\,\,\,\overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow v .\) Tính \(\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) theo \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v .\)

A \(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v}\\
{\overrightarrow {AB} = - \frac{4}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v}\\
{\overrightarrow {CA} = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v}
\end{array}\)

B \(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v}\\
{\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v}\\
{\overrightarrow {CA} = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v}
\end{array}\)

C \(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{2}{3}\overrightarrow v \\
\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \\
\overrightarrow {CA} = \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{4}{3}\overrightarrow v
\end{array}\)

D \(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \\
\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow u + \frac{2}{3}\overrightarrow v \\
\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow u + \frac{4}{3}\overrightarrow v
\end{array}\)

Câu hỏi 5 :

Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G,\,\,H\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(G.\) 1. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\,\,\,\overrightarrow {CH} = - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\) 2. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) CMR: \(\overrightarrow {MH} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} .\)

Câu hỏi 6 :

Cho \(\Delta ABC,\) gọi \(I\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(2CI = 3BI.\) Gọi \(F\) là điểm trên cạnh \(BC\) kéo dài sao cho \(5FB = 2FC.\) 1. Tính \(\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {AF} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\) 2. Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC.\) Tính \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AI} ,\,\,\overrightarrow {AF} .\)

A \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\)

B \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} + \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\)

C \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\)

D \(\begin{array}{l}
1)\,\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ;\,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \\
2)\,\,\,\overrightarrow {AG} = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AF} .
\end{array}\)