Bài tập 6 trang 79 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 79 SGK Đại số 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Gọi A(a; 0), B(0;b) (a,b > 0)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\OA = \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = a;OB = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = b\end{array}\)
Do AB tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính R = 1,
Suy ra: diện tích \((\Delta OAB) = \frac{1}{2}AB.{h_0} = \frac{1}{2}AB.1 = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Mặt khác: Diện tích \((\Delta OAB) = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}a.b\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \frac{1}{2}ab \Leftrightarrow ab = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,(1)\)
Lại có theo bất đẳng thức cô–si:
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge \sqrt 2 .\sqrt {ab} \)
Nên từ (1) \( \Rightarrow ab \ge \sqrt 2 .\sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {ab} (\sqrt {ab} - \sqrt 2 ) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {ab} - \sqrt 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge \sqrt 2 \)
Do đó AB nhỏ nhất \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {ab} = \sqrt 2 \\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 2 \)
Vậy AB nhỏ nhất khi \(A(\sqrt 2 ;0),B(0;\sqrt 2 )\)
-- Mod Toán 10
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 10
Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK