Chương 4: Bất Đẳng Thức. Bất Phương Trình

 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) \(8x > 4x\)

b) \(4x > 8x\)

c) \(8x^2 > 4x^2\)

d) \(8 + x > 4 + x\)

Cho số \(x > 5\), số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

\(A=\frac{5}{x};\)         \(B=\frac{5}{x}+1;\)        

\(C=\frac{5}{x}-1;\)      \(D=\frac{x}{5}\)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh \((b-c)^2 < a^2\)

b) Từ đó suy ra \(a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc +ca).\)

Chứng minh rằng: 

\(x^3 + y^3 \geq x^2y + xy^2, \forall x \geq 0, \forall y \geq 0.\)

Chứng minh rằng:  \(x^4 - \sqrt{x^5} + x - \sqrt{x} + 1 > 0, \forall x \geq 0.\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\) 

b)  \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)

c)  \(2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\)

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\)

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a)  \(x^2 +\sqrt{x+8}\leq 3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0;\)

b) \(2x^2 +5 \leq 2x - 1\) và \(2x^2 - 2x + 6 \leq 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và  \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} \geq x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1).\)

Giải các phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5.\)

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Xét dấu các biểu thức: 

a) \(f(x) = (2x - 1)(x + 3);\) 

b) \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3);\)

c) \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x};\)

d) \(f(x) = 4x^2 - 1.\)

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1};\)

b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}};\)

c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3};\)

d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1.\)

Giải các bất phương trình:

a) \(|5x - 4| \geq 6;\)

b) \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\) 

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) \(- x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x);\)

b) \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3.\)

 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau.

a) \(\left\{\begin{matrix} x-2y<0\\ x+3y>-2 \\ y-x<3; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\leq 2 \\ x\geq 0. \end{matrix}\right.\)

Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

Xét dấu các tam thức bậc hai

a) \(5x^2 - 3x + 1;\)

b) \(- 2x^2 + 3x + 5;\)

c) \(x^2 + 12x + 36;\)

d) \((2x - 3)(x + 5).\)

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) \(f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5);\)

b) \(f(x) = (3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1);\)

c) \(f(x) = (4x^2 - 1)(- 8x^2 + x - 3)(2x + 9);\)

d)  \(f(x) =\frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}.\)

Giải các bất phương trình sau

a) \(4x^2 - x + 1 < 0;\)

b) \(- 3x^2 + x + 4 \geq 0;\)

c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4};\)

d) \(x^2 - x - 6 \leq 0.\)

Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) \((m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0;\)

b) \((3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0.\)

Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \)

(không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) \(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a  + \sqrt {a + 6} \,\left( {a \ge 0} \right)\)

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a³ + b³ ≥  ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

a) Chứng minh rằng a² + ab + b² ≥ 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Chứng minh rằng nếu  a ≥ 0 và b > 0 thì 

\(\frac{{a + b}}{2}.\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}\)

a) Chứng minh rằng, nếu \(x \ge y \ge 0\) thì \(\frac{x}{{1 + x}} \ge \frac{y}{{1 + y}}\)

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \(\frac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}} \le \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}}\)

Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\)

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le  - 2\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với −3 ≤ x ≤ 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}}\) với x > 1

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì \(\frac{{{a^4}}}{b} + \frac{{{b^4}}}{c} + \frac{{{c^4}}}{a} \ge 3abc\)

Một khách hàng đến một cửa hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên trái và cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 1\)

b) \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} \)

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì \({\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge abcd\)

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² thì \(\left| {x + y} \right| \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x - 3y = 15 thì \({x^2} + {y^2} \ge 9\)

Một bạn tập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  < \left| x \right|\) luôn không âm nên bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương x - 1 < x².

Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?

Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\sqrt x  >  - \sqrt x \)

b) \(\sqrt {x - 3}  < 1 + \sqrt {x - 3} \)

c) \(x + \frac{1}{{x - 3}} \ge 2 + \frac{1}{{x - 3}}\)

d) \(\frac{x}{{\sqrt {x - 2} }} < \frac{2}{{\sqrt {x - 2} }}\)

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 \ge 0\) ?

\(2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} \ge \frac{1}{{x - 3}}\) và 

\(2x - 1 - \frac{1}{{x + 3}} \ge  - \frac{1}{{x + 3}}\)

Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).

a) x - 2 > 0 và x²(x - 2) < 0;

b) x - 2 < 0 và x²(x - 2) > 0;

c) x - 2 ≤ 0 và x²(x - 2) ≤ 0;

d) x - 2 ≥ 0 và x²(x - 2) ≥ 0.

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{{x + 2}}{3} - x + 1 > x + 3\)

b) \(\frac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \frac{{x + 2}}{3} + x\)

c) \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right)x < 3 - 2\sqrt 2 \)

d) \({\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2\)

Giải và biện luận các bất phương trình

a) \(mx\left( {x - m} \right) \le x - 1\)

b) \(mx + 6 > 2x + 3m\)

c) \(\left( {x + 1} \right)k + x < 3x + 4\)

d) \(\left( {a + 1} \right)x + a + 3 \ge 4x + 1\)

Giải các hệ bất phương trình 

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
5x - 2 > 4x + 5\\
5x - 4 < x + 2
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 1 > 3x + 4\\
5x + 3 \ge 8x - 9
\end{array} \right.\)

Giải và biện luận các bất phương trình sau: 

a) m(x - m) > 2(4 - x);

b) 3x + m2 ≥ m(x + 3);

c) k(x - 1) + 4x ≥ 5;

d) b(x - 1) ≤ 2 - x.

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{5x + 2}}{3} \ge 4 - x\\
\frac{{6 - 5x}}{{13}} < 3x + 1
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - x} \right)^2} > 5 + 3x + {x^2}\\
{\left( {x + 2} \right)^3} < {x^3} + 6{x^2} - 7x - 5
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{4x - 5}}{7} < x + 3\\
\frac{{3x + 8}}{4} > 2x - 5
\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 2x - 3\\
3x < x + 5\\
\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3
\end{array} \right.\)

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau có nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2 >  - 4x + 5\\
3x + m + 2 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \le 0\\
m + x > 1
\end{array} \right.\)

Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + 7 < 8x - 1\\
 - 2x + m + 5 \ge 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\
2m - 5x \le 8
\end{array} \right.\)

Lập bảng xét dấu của các biểu thức

a) \(\frac{{4 - 3x}}{{2x + 1}}\)

b) \(1 - \frac{{2 - x}}{{3x - 2}}\)

c) \(x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3 - x} \right)\)

d) \(\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {1 - x} \right)}}\)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu:

a) \(-x^2+x+6\)

b) \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 \)

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 1}} \le 0\)

b) \(\frac{3}{{1 - x}} \ge \frac{5}{{2x + 1}}\)

c) \(\left| {2x - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 2  - x} \right| > 3x - 2\)

d) \(\left| {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)x + 1} \right| \le \sqrt 3  + \sqrt 2 \)

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt 2  - x} \right) > 0\\
\frac{{4x - 3}}{2} < x + 3
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{2x - 1}} \le \frac{1}{{3 - x}}\\
\left| x \right| < 1
\end{array} \right.\)

Giải và biện luận các bất phương trình:

a) mx + 4 > 2x + m²

b) 2mx + 1 ≥ x + 4m²

c) x(m² - 1) < m⁴ - 1

d) 2(m+1)x ≤ (m+1)²(x-1)

Giải các bất phương trình

a) \(\left( { - \sqrt 3 x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {4x - 5} \right) > 0\)

b) \(\frac{{3 - 2x}}{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 4} \right)}} < 0\)

c) \(\frac{{ - 3x + 1}}{{2x + 1}} \le  - 2\)

d) \(\frac{{x + 2}}{{3x + 1}} \le \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\)

Giải và biện luận các bất phương trình

a) \(\left( {2x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - m} \right) > 0\)

b) \(\frac{{\sqrt 3  - x}}{{x - 2m + 1}} \le 0\)

Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
6x + \frac{5}{7} > 4x + 7\\
\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 25
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}\\
2\left( {x - 4} \right) < \frac{{3x - 14}}{2}
\end{array} \right.\)

Giải phương trình và bất phương trình

a) \(\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right| =4\,\,\,  (1) \)

b) \(\frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} > \frac{1}{2}\)

Giải và biện luận bất phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7  - 2x} \right) > 0\,(1)\\
x - m \le 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{x - 1}} < \frac{5}{{2x - 1}}\,(1)\\
x - m \ge 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)

Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình hai ẩn

a) \(x - 2 + 2\left( {y - 1} \right) > 2x + 4\)

b) \(2x - \sqrt 2 y + \sqrt 2  - 2 \le 0\)

Xác định tập nghiệm của mỗi hệ bất phương trình hai ẩn

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 > 0\\
2\left( {x - 1} \right) + \frac{y}{2} < 4
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
4x - 5y + 20 > 0\\
y > 0\\
 - y + 5 > \frac{{x - 3}}{3}
\end{array} \right.\)

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng khi gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò, 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 45000đ, 1kg thịt lợn lầ 35000đ. Giả sử gia đình mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

a) Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó.

b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x (kilogam) thịt bò và y (kilogam) thịt lợn. Hãy biểu diễn T theo x, y

c) Ở câu a) ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại (x₀;y₀) với (x₀;y0) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilogam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất.

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn

a) \(x + 3 + 2\left( {2y + 5} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\)

b) \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y \ge 2\)

Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y > 0\\
x - 3y \le  - 3\\
x + y > 5
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 2y - 6 \ge 0\\
2\left( {x - 1} \right) + \frac{{3y}}{2} \le 4\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y \ge 2\\
x - 2y \le 2\\
x + y \le 5\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

a) Hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một tam giác.

b) Trong (S) hãy tìm điểm có tọa độ (x;y) làm cho biểu thức f(x;y) = y − x có giá trị nhỏ nhất, biết rằng f(x;y) có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của (S).

Một nhà khoa học nghiên cứ về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. kết quả như sau:

i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.

iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày

a) Gọi c là số tiền vitamin mà bạn phải trả (tính bằng đồng). hãy viết phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.

b) Viết các phương trình biểu thị i), ii) và iii) , lập thành một hệ bất phương trình rồi biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình đó.

c) Cũng trên mặt phẳng tọa độ ấy, hãy vẽ đường biểu diễn số tiền phải trả c, nếu c =9000, c = 4500; c = 2250

Hãy dùng bút màu để phân biệt các đường đó

d) Tìm phương tán dùng hai loại virtamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít nhất.

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x² - 2x + 1

b) - x² + 4x – 1

c) \({x^2} - \sqrt 3 x + \frac{3}{4}\)

d) \(\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 \)

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) (m²+2)x² - 2(m+1)x + 1

b) (m+2)x² + 2(m+2)x + m + 3

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.

a) \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\)

b) \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1\)

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

\(f\left( x \right) = a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

Hay \(af\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\)

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) hay af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

trong đó x₁ và x₂ là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Giải các bất phương trình

a) - 5x² + 4x + 12 < 0

b) 16x² + 40x +25 < 0

c) 3x² - 4x+4 ≥ 0

d) x² - x - 6 ≤ 0

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{{{x^2} - 9x + 14}}{{{x^2} - 5x + 4}} > 0\)

b) \(\frac{{ - 2{x^2} + 7x + 7}}{{{x^2} - 3x - 10}} \le  - 1\)

c) (2x + 1)(x² + x – 30) ≥ 0

d) x⁴ – 3x² ≤ 0

Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.

a) (m-5)x² - 4mx + m – 2 = 0    (1)

b) (m+1)x² + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0    

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 9x + 7 > 0\\
{x^2} + x - 6 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} + 9x + 7 > 0}\\
{{x^2} + x - 6 < 0}
\end{array}} \right.\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2{x^2} - 5x + 4 < 0}\\
{ - {x^2} - 3x + 10 \ge 0}
\end{array}} \right.\)

d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} + x - 6 > 0}\\
{3{x^2} - 10x + 3 > 0}
\end{array}} \right.\)

Tìm các giá trị m để các phương trình có nghiệm:

x² + (m - 2)x - 2m + 3 = 0

Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kỳ giá trị nào.

a) x² - 2(m + 1)x + 2m² + m + 3 = 0

b) (m² + 1)x² + 2(m + 2)x + 6 = 0

Tìm m để bất phương trình sau:

(m – 1)² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Giải các bất phương trình:

a) \(\frac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)

b) \(\frac{1}{{{x^2} - 5x + 4}} < \frac{1}{{{x^2} - 7x + 10}}\)

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {\left( {2x + 5} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \)

b) \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \)

Giải các hệ bất phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
4x - 3 < 3x + 4\\
{x^2} - 7x + 10 \le 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 9x - 7 > 0\\
{x^2} + x - 6 \le 0
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 9 < 0\\
\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right) \ge 0
\end{array} \right.\)

Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:

\( - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + a}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)

Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x - 15 < 0\\
\left( {m + 1} \right)x \ge 3
\end{array} \right.\)

Giải các phương trình vầ bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| = x² + 6x + 5

b) |x – 1| = 2x – 1

c) |-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

d) |x² – x|  ≤ |x² – 1|

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1\)

b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2\left( {x + 10} \right)\)

c) \(\sqrt {{x^2} + 2x}  =  - 2{x^2} - 4x + 3\)

d) \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}  = {x^2} + 3x - 4\)

Giải các bất phương trình:

a) \(\sqrt {{x^2} + x - 6}  < x - 1\)

b) \(\sqrt {2x - 1}  \le 2x - 3\)

c) \(\sqrt {2{x^2} - 1}  > 1 - x\)

d) \(\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  \ge 2x - 1\)

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {\left| {{x^2} + 3x - 4} \right| - x + 8} \)

b) \(y = \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left| {2x - 1} \right| - x - 2}}} \)

c) \(y = \sqrt {\frac{1}{{{x^2} - 7x + 5}} - \frac{1}{{{x^2} + 2x + 5}}} \)

d) \(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  - x + 3} \)

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \(\left| {\frac{{{x^2} - 2}}{{x + 1}}} \right| = 2\)

b) \(\left| {\frac{{3x + 4}}{{x - 2}}} \right| \le 3\)

c) \(\left| {\frac{{2x - 3}}{{x - 3}}} \right| \ge 1\)

d) \(\left| {2x + 3} \right| = \left| {4 - 3x} \right|\)

Giải các bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| ≤ x² + 6x + 5

b) 4x² + 4x - |2x + 1| ≥ 5

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4}  = 2\left( {x - 1} \right)\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 12}  = {x^2} + 3x\)

Giải các bất phương trình

a) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 8}  \le 2x + 3\)

b) \(\frac{{2x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\)

c) \(6\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 32} \right)}  \le {x^2} - 34x + 48\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} - x - 12}  \ge x - 1\)

b) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  > 2x + 3\)

c) \(\frac{{\sqrt {x + 5} }}{{1 - x}} < 1\)

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

x⁴ + (1 - 2m)x² + m² – 1 = 0

a) Vô nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt

c) Có bốn nghiệm phân biệt

Tìm các giá trị của a sao cho phương trình:

(a-1)x⁴ - ax² + a² – 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a+b| < |1+ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} \ge \frac{1}{2}\) với mọi n ∈ N*

c) \(\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\)        

b) a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f\left( x \right) = \left| {x + \frac{1}{x}} \right|\)

b) \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.

\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{7}{6}x - \frac{1}{2} > \frac{{3x}}{2} - \frac{{13}}{3}\\
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x
\end{array} \right.\)

Với giá trị nào của m, bất phương trình:

(m² + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?

Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) a²x + 1 > (3a - 2)x - 3

b) 2x² + (m - 9)x + m² + 3m + 4 ≥ 0

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 9x + 20}} > 0\)

b) \(\frac{{2{x^2} - 10x + 14}}{{{x^2} - 3x + 2}} \ge 1\)

Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

a) (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0

b) (m2 - 1)x² + 2(m + 1)x + 3 > 0

Giải các phương trình sau

a) |x² – 2x – 3| = 2x+2

b) \(\sqrt {{x^2} - 4}  = 2\left( {x - \sqrt 3 } \right)\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le  - 4\)

b) \(\left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4\)

c) \(\sqrt {{x^2} - 8x}  \ge 2\left( {x + 1} \right)\)

d) \(\sqrt {x\left( {x + 3} \right)}  \le 6 - {x^2} - 3x\)

Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 6 < 0\\
ax + 4 < 0
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
4x + 1 < 7x - 2\\
{x^2} - 2ax + 1 \le 0
\end{array} \right.\)

Trong mỗi câu sau đây, có bốn khẳng định (A), (B), (C) và (D) , trong đó chỉ có một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng trong mỗi câu đó.

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \)

A. Dương với mọi x ∈ R

B. Âm với mọi x ∈ R

C. Âm với mọi \(x \in \left( { - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 } \right)\)       

D. Âm với mọi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\)

b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - 4\sqrt 2 } \right)x - 3\sqrt 2  + 6\)

A. Dương với mọi x ∈ R

B. Dương với mọi \(x \in \left( { - 3;\sqrt 2 } \right)\)

C. Dương với mọi \(x \in \left( { - 4;\sqrt 2 } \right)\)     

D. Âm với mọi x ∈ R

c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \)

(A). R

(B). \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

(C). [−5;1]

(D). \(\left[ { - 5;\sqrt 5 } \right]\)

a) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right){x^2} - 2\left( {3\sqrt 2  - 4} \right)x + 6\left( {2\sqrt 2  - 3} \right) \le 0\) là: 

(A). \(\left[ { - 2;3\sqrt 2 } \right]\)

(B). \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

(C). \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)

(D). \(\left[ { - 1;3\sqrt 2 } \right]\)

b) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\left( {2 + \sqrt 7 } \right){x^2} + 3x - 14 - 4\sqrt 7  \ge 0\) là: 

(A). R

(B). \(\left( { - \infty ; - \sqrt 7 } \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

(C). \(\left[ { - 2\sqrt 2 ;5} \right]\)

(D). \(\left( { - \infty ; - \sqrt 7 } \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

c) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)x + 2 + \sqrt 2 }} \le 0\)

(A). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)

(B). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ;1} \right]\)

(C). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)

(D). \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

a) Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 10x - 5}  = 2\left( {x - 1} \right)\) là: 

(A). \(x = \frac{3}{4}\)

(B). \(x = 3 - \sqrt 6 \)

(C). \(x = 3 + \sqrt 6 \)

(D). \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3 + \sqrt 6 \\
{x_2} = 2
\end{array} \right.\)

b) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {6 - x} \right)}  \le 2\left( {x + 1} \right)\) là:

(A). \(\left[ { - 2;5} \right]\)

(B). \(\left[ {\frac{{\sqrt {109}  - 3}}{5};6} \right]\)

(C). [1,6]

(D). [0,7]

c) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}  > x - 3\) là:

(A). [−100,2]

(B). \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

(C). \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

(D). \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left( {4 + \sqrt 5 ; + \infty } \right)\)