Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

* Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\]

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

⇒\[ \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\]

TH1: d=0, số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \]

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c\,\, \vdots \,\,3\]

Ta có các nhóm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 \equiv 0(mod\,3)}\\{\{ 1;4;7\} \equiv 1(mod\,3)}\\{\{ 2;5;8\} \equiv 2(mod\,3)}\end{array}} \right.\)

+) \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\]

⇒ Có 3! cách chọn.

+) \[a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\]

⇒ Có 3! cách chọn.

+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

⇒ Có \[1.C_3^1.C_3^1.3!\]cách chọn.

⇒ Có \[3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\]số.

TH2: d=5, số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \]

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \[a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\], trong đó \[5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\].

Ta có các nhóm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\{ 0;9\} \equiv 0(mod\,\,3)}\\{\{ 1;4;7\} \equiv 1(mod\,\,3)}\\{\{ 2;8\} \equiv 2(mod\,\,3)}\end{array}} \right.\)

+) Trong 3 số a,b,c có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có \[C_3^1\] cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có:  \[C_3^1.3!\] cách chọn.

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm \[\overline {bc} \]

 Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có  \[C_3^1\] cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn \[\overline {bc} \]là \[C_3^1.2!\]

⇒ Có \[C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12\] cách chọn.

+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

⇒ Có \[C_2^1.3! - 2! = 10\] cách chọn.

+) Trong 3 số a,b,c có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

⇒ Có \[C_3^2.C_2^1.3! = 36\] cách chọn.

Vậy có tất cả \[66 + 12 + 10 + 36 = 124\]số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A