Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):(x-4)^2+(y+3)^2+(z+6)^2=50\) và đường thẳng \(d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{-1}\). Có bao nhiêu điểm M thuộc trục hoành, với h...

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(4;-3;-6), R=5 \sqrt{2}\).

Ta có: \(M \in Ox \Rightarrow M(a; 0; 0)\).

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ \(M\) đến \((S)\). Khi đó \((P)\) đi qua \(M(a; 0; 0)\), vuông góc với đường thẳng \(d\), phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \(2(x-a)+4 y-z=0 \Leftrightarrow 2 x+4 y-z-2 a=0\) Ta có: \(M\) là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra \(I M>R \Leftrightarrow(a-4)^2+9+36>50 \Leftrightarrow(a-4)^2>5(1)\)

\(d(I,(P))

Từ (1) và (2), suy ra:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(a - 4)}^2} > 5}\\
{|2 - 2a| < 5\sqrt {42} }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a^2} - 8a + 11 > 0}\\
{{a^2} - 2a + 1 < \frac{{350}}{3}}
\end{array}} \right.\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \ge 7}\\
{a \le 1}\\
{ - 15 \le a \le 17}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - 15 \le a \le 1 \vee 7 \le a \le 17.
\end{array}\)

Mà \(a \in \mathbb{Z}\) nên có 28 điểm \(M\) thoả mãn.