Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), các cạnh còn lại bằng nhau và bằng \(4\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa cạnh \(AB\) và vuông góc với cạnh \(CD\)...

Câu hỏi :

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), các cạnh còn lại bằng nhau và bằng \(4\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa cạnh \(AB\) và vuông góc với cạnh \(CD\) tại \(I.\) Diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất bằng: 

A. \(12\)     

B. \(6\) 

C. \(8\sqrt 3 \) 

D. \(4\sqrt 3 \) 

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Ta có các tam giác \(ACD\) và \(BCD\) là các tam giác đều vì các cạnh đều bằng 4.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot CD\\BI \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABI} \right)\). Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là \(\left( {ABI} \right)\).

Mặt khác ta có: \(AI,\,\,BI\) là các đường cao trong tam giác đều cạnh 4 nên \(AI = BI = 4.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \Delta IAB\) cân tại \(I\).

Gọi gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow IH \bot AB\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BHI\) ta có:

\(IH = \sqrt {I{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \)

Ta có: \({S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} .x = \dfrac{x}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \)

Ta có: \(\dfrac{x}{2}\sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  \le \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{4} + 12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}}{2} = 6\) , do đó \({S_{\Delta IAB}} \le 6\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \sqrt {12 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  \Leftrightarrow x = 2\sqrt 6 \).

Vậy diện tích tam giác \(IAB\) lớn nhất bằng \(6\) khi \(AB = x = 2\sqrt 6 \).

Chọn B.

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK