Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó E=6V; r=1 ôm; R1=R3=R4=R5= 1 ôm

* Hướng dẫn giải

a) Vôn kế đo hiệu điện thế giữa hai đầu A và D

Khi K mở: không có dòng điện chạy qua $R_3, R_{4 }và R_5.$

Mạch ngoài: $R_1 nt R_2 nt R_X$

Điện trở mạch ngoài: $R_N = R_1 + R_2 + R_X = 3,8\Omega .$

Cường độ dòng điện mạch chính:  $I=\frac{E}{R_X+r}=1,25\Omega$

Số chỉ của vôn kế: $U_V=U_{AD}=U_{AB}=E-Ir=4,75V.$

Công suất tiêu thụ trên $R_X : P_{Xm}=I_2.R_X=3,125W.$

Khi K đóng: mạch ngoài có: $R_1 nt R_2 nt (R_X//(R_3 nt R_4 nT R_5\left)\right)$

Điện trở mạch ngoài: $R_N =R_1+R_2+\frac{R_X(R_3+R_4+R_5)}{R_X+R_3+R_4+R_5}=3\Omega$

Cường độ dòng điện mạch chính:  $I=\frac{E}{R_N+r}=1,5A.$

Hiệu điện thế giữa $CB: U_{CB}=I.R_{CB}=1,5.1,2=1,8V.$

Cường độ dòng điện chạy qua $R_5:\hspace{0.17em}{I}_5=\frac{U_{CB}}{R_{345}}=0,6A.$

Số chỉ của vôn kế: $U_V=U_{AD}=U_{AB}+U_{BD}=E-Ir-I_5.R_5=3,9V.$

Cường độ qua $RX: I_X = I - I_5 = 0,9A.$

Công suất tiêu thụ trên $R_X : P_{xđ} = {I_X}^2.R_X=1,62W.$

b) Khi K đóng: mạch ngoài có: $R_1 nt R_2 nt (R_X // (R_3 nt R_4 nt R_5\left)\right)$

Gọi $R_X$ là x khi K đóng:

Ta có: $R_{CB}=\frac{x(R_3+R_4+R_5)}{x+R_3+R_4+R_5}=\frac{3x}{3+x}$

Điện trở mạch ngoài: $R_N=R_{12}+R_{CB}=1,8+\frac{3x}{3+x}=\frac{5,4+4,8x}{3+x}$

Cường độ dòng điện mạch chính: $I=\frac{E}{R_N+r}=\frac{6}{{\displaystyle \frac{5,4+4,8x}{3+x}}+1}=\frac{6(3+x)}{8,4+5,8x}$

Hiệu điện thế hai đầu AC: $U_{AC}=I.R_{12}=1,8.\frac{6(3+x)}{8,4+5,4x}.\frac{3x}{3+x}=\frac{18x}{8,4+5,8x}$ (1)

Hiệu điện thế hai đầu CB:  $U_{CB}=I.R_{CB}=\frac{6(3+x)}{8,4+5,4x}.\frac{3x}{3+x}=\frac{18x}{8,4+5,8x}$(2)

Cường độ dòng điện qua $R_{345} là I_{345}=\frac{18x}{(8,4+5,8x)3}=\frac{6x}{8,4+5,8x}$

Hiệu điện thế hai đầu CD: $U_{CD}=I_{345}.R_{345}=\frac{6x}{8,4+5,8x}.2=\frac{12x}{8,4+5,8x}$(3)

Số chỉ của vôn kế bằng điện áp hai đầu AD: $U_{AD}=U_{AC}+U_{CD}$

Từ (1) và (3) ta có: $U_{AD}=\frac{32,4x+10,8x}{8,4+5,8x}+\frac{6x}{8,4+5,8x}=\frac{32,4+22,8x}{8,4+5,8x}$

Đạo hàm $U_{AD}$ theo x ta được: $U_{AD}=\frac{22,8.8,4-5,8.32,4}{{(8,4+5,8x)}^2}=\frac{3,6}{{(8,4+5,8x)}^2}$

$U_{AD}> 0$ với mọi x nên $U_{AD}$ luôn tăng khi x tăng, nên khi x thay đổi từ 0 đến 10  thì số chỉ vôn kế luôn tăng.

+ Công suất tiêu thụ trên $R_X:$

$P_X = {I_X}^2.R_X; với I_X=\frac{U_{CB}}{R_X}=\frac{18x}{(8,4+5,8x)x}=\frac{18}{8,4+5,8x}$

Vậy $P_X = \frac{{18}^2}{{(8,4 +5,8x)}^2}x=\frac{18x^2}{70,56+97,44x+33,64x^2}. Khi x= 0 thì P_X=0.$

Khi $x\ne 0$  ta có: $P_X=\frac{{18}^2}{97,44+{\displaystyle \frac{70,56}{x}}+33.64x}.P_X=\frac{{18}^2}{97,44+{\displaystyle \frac{70,56}{x}}+33,64x}$

Theo bất đẵng thức Côsi ta có: ${\left(\frac{70,56}{x}+33,46x\right)}_{min}$ khi ð x = 1,45

Vậy $P_{max} khi R_X=1,45\Omega$.