Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 và O2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có: $\tan \widehat{M{O}_{2}N}=\tan (\widehat{O_1{O}_{2}N}-\widehat{O_1{O}_{2}M})=\frac{\tan \widehat{O_1{O}_{2}N}-\tan \widehat{O_1{O}_{2}M}}{1+\tan \widehat{O_1{O}_{2}N}.\tan \widehat{O_1{O}_{2}M}}$

Trong đó : $\tan \widehat{O_1{O}_{2}N}=\frac{b}{O_1{O}_2}=\frac{b}{18};\tan \widehat{O_1{O}_{2}M}=\frac{a}{O_1{O}_2}=\frac{a}{18}$.

$\Rightarrow \tan \widehat{M{O}_{2}N}=\frac{\frac{b}{18}-\frac{a}{18}}{1+\frac{b}{18}.\frac{a}{18}}=\frac{b-a}{18+\frac{ab}{18}}$

Từ giả thiết :

$$\begin{gathered} ab=324\Rightarrow a=\frac{324}{b} \\ \Rightarrow \tan \widehat{M{O}_{2}N}=\frac{b-\frac{324}{b}}{18+\frac{\frac{324}{b}.b}{18}}=\frac{1}{36}(b-\frac{324}{b}) \end{gathered}$$

Xét hàm số: $f\left(b\right)=\frac{1}{36}(b-\frac{324}{b})$ với $b\in [21,6;24]$.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(b\right)=\frac{1}{36}(1+\frac{324}{b^2})>0$ với $\forall b\in [21,6;24]$ do đó

$$\begin{gathered} f{\left(b\right)}_{\max }\iff b=24cm\Rightarrow a=\frac{324}{24}=13,5cm \\ \Rightarrow O_{\mathit{2}}N=\sqrt{{\mathit{O}}_{\mathit{1}}\mathit{}{\mathit{O}}_{\mathit{2}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{b}}^{\mathit{2}}}=\sqrt{{\mathit{18}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{24}}^{\mathit{2}}}=30cm \\ \mathit{\Rightarrow }{\mathit{O}}_{\mathit{2}}\mathit{}\mathit{M}\mathit{=}\sqrt{{\mathit{O}}_{\mathit{1}}\mathit{}{\mathit{O}}_{\mathit{2}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{a}}^{\mathit{2}}}\mathit{=}\sqrt{{\mathit{18}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{13}\mathit{,}{\mathit{5}}^{\mathit{2}}}\mathit{=}\mathit{22},5cm \end{gathered}$$

Điểm M và N dao động với biên độ cực đại khi :

$\left\{\begin{array}{l}{O}_{2}N-O_{1}N=k_1\lambda \\ O_{2}M-O_{1}M=k_2\lambda \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{k}_1\lambda =30-24=6cm\\ k_2\lambda =22,5-13,5=9cm\end{array}\right.$

Giữa M và N có hai điểm cực tiểu nên : $k_2=k_1+2\iff \frac{9}{\lambda }=\frac{6}{\lambda }+2\Rightarrow \lambda =1,5\left(cm\right)$.

Số dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối hai nguồn là số giá trị k thỏa mãn :

$-\frac{O_1{O}_2}{\lambda }<k<\frac{O_1{O}_2}{\lambda }\iff -\frac{18}{1,5}<k<\frac{18}{1,5}\iff -12<k<12$

Có tất cả 23 giá trị k thỏa mãn