Diện tích mặt cầu - Công thức hình học đáng nhớ

Diện tích mặt cầu - Công thức hình học đáng nhớ

Bài viết hôm nay xin giới thiệu với các bạn về chứng minh công thức tính diện tích mặt cầu!

I. Định nghĩa về mặt cầu

Mặt cầu là một đối tượng hình học đối xứng hoàn hảo. Trong toán học, thuật ngữ này là bề mặt hay biên của một hình cầu.

Trong cách dùng không chuyên môn về mặt toán học, thuật ngữ này lại có thể hiểu là một hình cầu 3 chiều hay chỉ đơn giản là một mặt cầu.

Mặt cầu là một đối tượng hình học đối xứng hoàn hảo.

Trong toán học, thuật ngữ này là bề mặt hay biên của một hình cầu. Trong cách dùng không chuyên môn về mặt toán học, thuật ngữ này lại có thể hiểu là một hình cầu 3 chiều hay chỉ đơn giản là một mặt cầu.

Mặt cầu là một trường hợp đặc biệt của mặt bậc hai.

• Công thức về các dạng phương trình của mặt cầu
• Công thức liên quan đến sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng

II. Công thức

• Diện tích mặt cầu bán kính R:

Diện tích xung quanh mặt cầu: \({\displaystyle \!S=4\pi R^{2}}\)

• Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

Ví dụ minh họa:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA⊥(ABCD),SA=a\sqrt{3}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Gọi I là trung điểm của SA, H là trung điểm của BC?

Do \(Góc \ SBA=90^0⇒IS=IA=IB \ và \ góc \ SCA=90^0⇒IA=IS=IC\)
\(⇒IA=IB=IC=IS⇒I \) là tâm đường tròn ngoại tiếp

Gọi M là trung điểm của \(AB⇒MH//AC,MI//SB\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot MH\\AB \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (MIH) \Rightarrow AB \bot IH(1)\)

Mà IB=IC và H là trung điểm của \(BC⇒IH⊥BC(2)\)

Từ (1),(2) suy ra \(IH⊥(ABC)\)

Dựng hình bình hành \(ABCD⇒AD//BC\)
\(⇒d(SA,BC)=d(BC,(SAD))=d(H,(SAD))\)

Kẻ \(HE⊥AD,HF⊥IE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot HE\\AD \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (IHE)\)

⇒AD⊥HF mà \(HF \bot IE \Rightarrow HF \bot (SAD) \Rightarrow HF = d\left( {H,(SAD)} \right) = \dfrac{{2a}}{3}\)

Ta có \(\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{H{I^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{H{F^2}}} - \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow HI = a\)

Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow HB = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow R = IB = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \dfrac{{3a}}{2}\)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp là \(S=4πR^2=4π(\dfrac{3a}{2})^2=9πa^2.\)

• Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều:

Hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh bằng a. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều là:

\(R = IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}.S=4\pi R^2=\dfrac{7\pi a^2}{3}\).

Trên đây là toàn bộ kiến thức mà muốn chia sẻ về các công thức liên quan đến diện tích của mặt cầu!