Bài 28 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thằng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.

a) Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.

b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK.

Hướng dẫn giải

Áp dụng:-  tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang.

- Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Lời giải chi tiết

a) Hình thang ABCD có: E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC (gt)

\( \Rightarrow \) EF là đường trung bình của hình thang ABCD (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang )

 \( \Rightarrow \) EF // AB // CD (tính chất đường trung bình của hình thang) 

\( \Rightarrow FK//AB, EI//AB\)

Xét ∆ABC có: F là trung điểm của BC (gt) và FK // AB (cmt)

             \( \Rightarrow \) AK = KC (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba )

Xét ∆ABD có: E là trung điểm của AD (gt) và EI // AB (cmt)

             \( \Rightarrow \) DI = IB (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ).        

b)Vi EF là đường trung bình của hình thang ABCD (cmt)

nên EF = \(\frac{AB+CD}{2}\) = \(\frac{6+10}{2}\) = 8cm (tính chất đường trung bình của hình thang)

Xét ∆ABD có: AE = ED (gt) và DI = IB (cmt)

 \( \Rightarrow \) EI là đường trung bình của ∆ABD (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 \( \Rightarrow \) EI = \(\frac{1}{2}\).AB = \(\frac{1}{2}\).6 = 3 (cm)(tính chất đường trung bình của  tam giác)

Xét ∆ABC có: BF = FC (gt) và AK = KC (cmt)

 \( \Rightarrow \) KF là đường trung bình của  ∆ABC (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 \( \Rightarrow \) KF = \(\frac{1}{2}\).AB = \(\frac{1}{2}\).6 = 3 (cm) (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Lại có EF = EI + IK + KF

nên IK = EF - (EI + KF) = 8 - (3 + 3) = 2 (cm).