Bài tập 8 trang 135 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 135 SGK Toán 11 NC
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác.
a. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
b. Tìm các tổng p1+p2+...+pn+... và S1+S2+...+Sn+...
a) Ta có \({p_1} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2};\)
\({p_2} = \frac{{3a}}{4} = \frac{{3a}}{{{2^2}}};...;{p_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}}\)
(chứng minh bằng qui nạp)
Vì \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {p_n} = 0\).
Ta có:
Diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Diện tích tam giác A1B1C1 là \({S_1} = \frac{S}{4}\)
Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác AnBnCn là \({S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\)
Vì \(\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {S_n} = 0\).
b) Ta có (pn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = \frac{1}{2}\), do đó:
\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = \frac{{{p_1}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{p_1} = 3a\)
(Sn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = \frac{1}{4}\) do đó:
\({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3}{S_1} = \frac{S}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK