Hỏi nếu ngay từ đầu, chỉ mở vòi thứ hai thì phải bao lâu mới đầy bể ?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể; \(y\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ hai chảy đầy bể. Điều kiện của ẩn là: \(x;y > \dfrac{{24}}{5}\).

Khi đó, riêng vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{x}\) bể.

Riêng vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{y}\) bể 

Vậy hai vòi cùng chảy từ đầu trong \(4\dfrac{4}{5}\) giờ  (tức \(\dfrac{{24}}{5}\) giờ) thì được \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\)  bể nước và đầy bể theo giả thiết ta có phương trình \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\) 

Giả thiết thứ hai có nghĩa là mở vòi thứ nhất chảy trong \(\left( {9 + \dfrac{6}{5}} \right)\) giờ cộng với vòi thứ hai chảy trong \(\dfrac{6}{5}\)  giờ nữa  thì đầy bể. Điều đó được mô tả bởi phương trình  \(\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)

Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v:\) \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right.\)

Ta giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số

\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{6}{5}u + \dfrac{6}{5}v = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\9u = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)

Trở về phương trình ban đầu, ta có \(x = \dfrac{1}{u} = 12\left( {tm} \right)\) và \(y = \dfrac{1}{v} = 8\left( {tm} \right)\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng trong \(12\) giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng trong \(8\) giờ thì đầy bể.