Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên y thảo mãn \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)\)

Câu hỏi :

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên y thảo mãn \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)\)

A. 16

B. 5

C. 6

D. 15

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

\({\log _5}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _4}\left( {x + y} \right)\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y > 0\\ x + y > 0\\ x,y \in Z \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y \ge 1\\ x,y \in Z \end{array} \right.\)

Đặt \(t=x+y\left( t\in \mathbb{Z},t\ge 1 \right)\) ta có \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right) \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+t \right)-{{\log }_{4}}t\ge 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do mỗi y tương ứng với một và chỉ một t nên ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên

y thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)\) khi và chỉ  khi ứng với mỗi x có không quá 63 số nguyên \(t\ge 1\) thỏa mãn (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+t \right)-{{\log }_{4}}t\) có tập xác định \(D=\left[ 1\,;\,+\infty  \right)\)

Ta có : \({f}'\left( t \right)=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}-x+t \right)\ln 5}-\frac{1}{t\ln 4}<0\,\forall x\in D\left( {{x}^{2}}-x+t>t,\ln 5>\ln 4 \right)\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên D

Suy ra \(f\left( 1 \right)>f\left( 2 \right)>...>f\left( 63 \right)>f\left( 64 \right)>.....\)

Vì ứng với mỗi số nguyên x có không có quá 63 số nghiệm t  thỏa mãn (1) nên \(f\left( 64 \right)<0\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+64 \right)-{{\log }_{4}}64<0 \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+64 \right)<3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+64<{{5}^{3}}\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-61<0 \Leftrightarrow \,\,\frac{1-7\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1+7\sqrt{5}}{2}\)

Vì \(x\in \mathbb{Z}\) nên \(x\in \left\{ -7;-6;.....;8 \right\}\), do đó có \(8-\left( -7 \right)+1=16\) số nguyên x thỏa mãn bài toán.

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK