Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 2mx - m + 2 (d).a) Với m = - 1. Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).

* Hướng dẫn giải

a) Với m = - 1  ta có y = - 2x + 3 (d).

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

x² = - 2x + 3 \( \Leftrightarrow \) x² + 2x - 3 = 0 (1).

Giải phương trình (1) ta được x₁ = 1; x₂ = - 3

Với x₁ = 1 \( \Rightarrow \) y₁ = 1 ;       

x₂ = - 3 \( \Rightarrow \) y₂ = 9

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là (1;1); (-3; 9)

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x² = 2mx - m + 2 ( \Leftrightarrow \) x² - 2mx + m - 2 = 0 (2)

Phương trình (2) có:

\(\Delta '\) = m² - m + 2

Mà \(\Delta ' = m^2 - m + 2 = (m - \frac{1}{2})^2+ \frac{7}{4}> 0\) với mọi m

 \( \Rightarrow \) phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

  Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

Gọi (x₁;y₁); (x₂;y₂) là toạ độ giao đểm của (d) và (P).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = x_1^2 + x_2^2 - {y_1}.{y_2} - 1\)

+) Vì (x₁;y₁); (x₂;y₂) là toạ độ giao điểm của (P) và (d) nên y₁ = x₁²; y₂ = x₂²

Suy ra \(B = x_1^2 + x_2^2 - {y_1}.{y_2} - 1 = x_1^2 + x_2^2 - x_1^2.x_2^2 - 1 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 1\)

+) Vì x₁; x₂ là hoành độ giao điểm của (d) và (P) nên x₁; x₂ là nghiệm của phương trình x² - 2mx + m - 2 = 0 (2). Theo câu b phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, theo định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}.{x_2} = m - 2
\end{array} \right.\)

+) Nên B = 4m² - 2m + 4 - (m -2)²- 1= 3m² + 2m - 1

           = \(3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}m + \frac{1}{9}} \right) - \frac{4}{3} = 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{4}{3}\)

Mà \({\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi m \( \Rightarrow B \ge  - \frac{4}{3}\) với mọi m.

 Dấu “=” xảy ra khi \(m =  - \frac{1}{3}\)                                                 

Vậy min B = \(  - \frac{4}{3}\)  khi \(m =  - \frac{1}{3}\)