Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A, kẻ đường thẳng song song với MO cắt đư...

* Hướng dẫn giải

1) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) tại A và B nên:

    \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}\)

Tứ giác MAOB có \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {180^0}\)

Mà hai góc ở vị trí đối nhau.

\( \Rightarrow \) Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Ta có: \({\widehat M_1} = {\widehat E_1}\) (so le trong, AE // MO) và \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\left( { = \frac{1}{2}sdAF} \right)\)

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat A_1}\)

\(\Delta NMF\) và \(\Delta NAM\) có: \(\widehat {MNA}\) chung; \({\widehat M_1} = {\widehat A_1}\)

\( \Rightarrow  \Delta NMF\) đồng dạng\(\Delta NAM\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{NM}}{{NA}} = \frac{{NF}}{{NM}} \Rightarrow N{M^2} = NF.NA\)

Có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R

\( \Rightarrow \) MO là đường trung trực của AB

\( \Rightarrow AH \bot MO\) và HA = HB

\(\Delta MAF\) và \(\Delta MEA\) có: \(\widehat {AME}{\rm{ }}\) chung; \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\)

\( \Rightarrow \Delta MAF\) đồng dạng \(\Delta MEA\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MF.ME\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, có: MA² = MH.MO

Do đó: ME.MF = MH.MO \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MF}}\)

\( \Rightarrow \Delta MFH\) đồng dạng \(\Delta MOE\) (c.g.c)

\( \Rightarrow {\widehat H_1} = {\widehat E_2}\)

Vì \(\widehat {BAE}\) là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\widehat E_2} = {\widehat A_2}{\rm{ }}\left( {{\rm{ = }}\frac{1}{2}{{sd EB}}} \right)\\
 \Rightarrow {\widehat H_1} = {\widehat A_2}\\
 \Rightarrow {\widehat N_1} + {\widehat H_1} = {\widehat N_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\\
 \Rightarrow HF \bot NA
\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: NH² = NF.NA

\( \Rightarrow N{M^2} = N{H^2} \Rightarrow NM = NH\)

3) Áp dụng hệ thức lượng vào  vuông NHA, có: HA² = FA.NA và HF² = FA.FN

Mà HA = HB

\( \Rightarrow \frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} = \frac{{H{A^2}}}{{H{F^2}}} = \frac{{FA.NA}}{{FA.FN}} = \frac{{NA}}{{NF}}\)

Vì AE // MN nên \(\frac{{EF}}{{MF}} = \frac{{FA}}{{NF}}\) (hệ quả của định lí Ta-lét)

\( \Rightarrow \frac{{H{B^2}}}{{H{F^2}}} - \frac{{EF}}{{MF}} = \frac{{NA}}{{NF}} - \frac{{FA}}{{NF}} = \frac{{NF}}{{NF}} = 1\)