Cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ \(AH\bot BC\) (H thuộc BC), gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. 1) Chứng minh \(A{C^2} = C...

* Hướng dẫn giải

1) Vì \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\).

\(\Delta ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

    AC² = CH.CB

2) Tứ giác AMHN có \(\widehat {MAN} = \widehat {AMH} = \widehat {ANH} = {90^0}\) (GT)

\( \Rightarrow\) AMHN là hình chữ nhật

\( \Rightarrow\) AMHN là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat H_1}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN)

Mà \({\widehat H_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat H_2}\))

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat C_1}\)

Tứ giác BCNM có \({\widehat M_1} = {\widehat C_1}\) nên BCNM là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\rm{   }}AC.BM + AB.CN\\
 = AC.(AB - AM) + AB.(AC - AN)\\
 = 2AB.AC - (AC.AM + AB.AN)\\
 = 2AB.AC - (AC.HN + AB.HM)
\end{array}\)

(vì AM = HN và AN = HM, do AMHN là hình chữ nhật)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(AB.AC = AH.BC{\rm{ , }}AC.HN = AH.HC{\rm{ , }}AB.HM = AH.HB\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
{\rm{   }}AC.BM + AB.CN\\
 = 2AH.BC - (AH.HC + AH.HB)\\
 = 2AH.BC - AH.(HC + HB)\\
 = 2AH.BC - AH.BC\\
 = AH.BC
\end{array}\)

3) Xét \(\Delta MEA\) và \(\Delta NAF\) có:  

\(\widehat {EMA} = \widehat {ANF} = {90^0}\), \(\widehat {EAM} = \widehat {AFN}\) (đồng vị, AB // FH)\

\(\Rightarrow \Delta MEA\) đồng dạng \(\Delta NAF\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{ME}}{{NA}} = \frac{{MA}}{{NF}} \Rightarrow ME.NF = NA.MA\)

Chứng minh tương tự, ta được: \(MB.NC = MH.NH\)

Mà NA = MH, AM = NH (AMHN là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow ME.NF = MB.NC \Rightarrow \frac{{ME}}{{NC}} = \frac{{MB}}{{NF}}\)

Xét \(\Delta MEB\) và \(\Delta NCF\) có: 

\(\widehat {EMB} = \widehat {CNF} = {90^0},\frac{{ME}}{{NC}} = \frac{{MB}}{{NF}}\)

\( \Rightarrow \Delta MEB\) đồng dạng \(\Delta NCF\) (c-g-c) \( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat F_1}\)

\( \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat C_2} = {90^0}{\rm{ }}(do{\rm{ }}{\widehat F_1} + {\widehat C_2} = {90^0})\)

\( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {FCB} = {\widehat B_2} + {\widehat B_1} + {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = \left( {{{\widehat B}_2} + {{\widehat C}_2}} \right) + \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat C}_1}} \right)\)

Mặt khác: \({\widehat B_2} + {\widehat C_2}\) và \({\widehat B_1} + {\widehat C_1}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

\( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat {FCB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

\( \Rightarrow\) BE // CF (đpcm).