Hàm số y = –x^2 + 2x + 3 có đồ thị là hình nào trong các hình sau?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cách 1:

Hàm số đã cho có dạng y = ax² + bx + c, với a = –1, b = 2, c = 3.

Ta có ∆ = b² – 4ac = 4 – 4.(–1).3 = 16.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) = –x² + 2x + 3 là một parabol (P):

⦁ Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\) và \({y_S} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{16}}{{4.\left( { - 1} \right)}} = 4\).

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; 4).

⦁ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy).

⦁ Có bề lõm quay xuống dưới vì a = –1 < 0.

⦁ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).

Ngoài ra, phương trình –x² + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = –1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có tọa độ (3; 0) và (–1; 0).

Ta vẽ được đồ thị sau:

Vậy ta chọn phương án A.

Cách 2:

• Xét hàm số y = –x² + 2x + 3 có a = –1, b = 2, c = 3.

Vì a = –1 < 0 nên đồ thị có bề lõm quay xuống dưới.

Do đó ta loại phương án C.

• Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\) và \({y_S} = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{16}}{{4.\left( { - 1} \right)}} = 4\).

Suy ra tọa độ đỉnh S(1; 4).

Do đó ta loại phương án B và D.

Vậy ta chọn phương án A.