Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}\) cạnh \(AB = 4cm;\,\,BC = 6cm;\,\,CA = 8cm\). Hãy tính độ dài cạnh SA của hình chóp.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right. \)\(\Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\).

Xét tam giác \(ABC\) ta có

\(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}\)\( = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} =  - \frac{1}{4} < 0\)

\( \Rightarrow \widehat B > {90^0}\)

Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SH \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {ABC} \right) \supset AH \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)\) \( = \angle \left( {SH;AH} \right) = \angle SHA = {60^0}\) .

Xét tam giác vuông \(AHB\) có \(BH = AB.\cos \angle ABH\)\( = 4.\frac{1}{4} = 1\).

\( \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} \)\( = \sqrt {{4^2} - {1^2}}  = \sqrt {15} \).

Xét tam giác vuông \(SAH\) có : \(SA = AH.\tan {60^0}\)\( = \sqrt {15} .\sqrt 3  = 3\sqrt 5 \).

Chọn D.