Cho hai điểm sáng 1 và 2 cùng dao động điều hòa trên trục Ox

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

− Tại thời điểm t = 0 hai điểm sáng cùng đi qua VTCB theo chiều dương

+ Phương trình dao động của hai điểm sáng:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1\cos \left({\omega }_{1}t-\frac{\pi }{2}\right)\\ x_2=A_2\cos \left({\omega }_{2}t-\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{v}_1={\omega }_1{A}_1\cos \left({\omega }_{1}t\right)\\ v_2={\omega }_2{A}_2\cos \left({\omega }_{2}t\right)\end{array}\right.$

+ Ở VTCB theo chiều dương hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc $\Rightarrow {\omega }_1{A}_1={\omega }_2{A}_2\Rightarrow \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{A_2}{A_1}$

− Công thức tính vận tốc tại thời điểm t: $v=\omega \sqrt{A^2-x^2}$

Khi vận tốc của điểm sáng 1 bằng 0 thì vận tốc của điểm sáng 2 mới giảm lần: $\left\{\begin{array}{l}{v}_1={\omega }_1\sqrt{A_1^2-x_1^2}=0\\ v_2={\omega }_2\sqrt{A_2^2-x_2^2}=\frac{{\omega }_2{A}_2}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=A_1\\ x_2=\frac{A_2}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta có:

Từ đường tròn lượng giác ta thấy: cùng trong khoảng thời gian t, góc quét được của hai chất điểm lần lượt là: $\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_1={\omega }_{1}t=\frac{\pi }{2}\\ {\alpha }_2={\omega }_{2}t=\frac{\pi }{4}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=2\Rightarrow \frac{A_2}{A_1}=2$

− Thời điểm hai điểm sáng có cùng vận tốc: 

$\begin{array}{l}{\omega }_1{A}_1\cos \left({\omega }_{1}t\right)={\omega }_2{A}_2\cos \left({\omega }_{2}t\right)\\ \iff \cos \left({\omega }_{1}t\right)=\cos \left({\omega }_{2}t\right)\iff \left[\begin{array}{l}{\omega }_{1}t={\omega }_{2}t+k2\pi \\ {\omega }_{1}t={\omega }_{2}t+k2\pi \end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}2{\omega }_{2}t={\omega }_{2}t+k2\pi \\ 2{\omega }_{2}t={\omega }_{2}t+k2\pi \end{array}\right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}t=\frac{k2\pi }{{\omega }_2}=k{T}_2\\ t=\frac{k2\pi }{3{\omega }_2}=\frac{k{T}_2}{3}=\frac{2k{T}_1}{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Với k = 0 → Thời điểm đầu tiên hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc.

Với k = 1 → Thời điểm tiếp theo hai điểm sáng có cùng độ lớn vận tốc là: $t^{\text{'}}=\frac{T_2}{3}=\frac{2T_1}{3}$

→ Góc quét được tương ứng của hai chất điểm trên đường tròn: $\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_1={\omega }_{1}t=\frac{2\pi }{T_1}\frac{2T_1}{3}=\frac{4\pi }{3}\\ {\alpha }_2={\omega }_2{t}^{\text{'}}=\frac{2\pi }{T_2}\frac{T_2}{3}=\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.$

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác:

Từ đường tròn lượng giác ta có tỉ số độ lớn li độ của hai điểm sáng: $\frac{\left|x_1\right|}{\left|x_2\right|}=\frac{\frac{A_1\sqrt{3}}{2}}{\frac{A_2\sqrt{3}}{2}}=\frac{A_1}{A_2}=0,5$