Trên mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn sóng kết hợp P

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Bước sóng: $\lambda =vT=4\text{ (cm)}$

Phần tử tại M dao động với biên độ cực đại nên: $QM-PM=k\lambda \Rightarrow PM=QM-k\lambda$

Và phần tử tại M dao động cùng pha với nguồn P nên cũng đồng pha với Q: $QM=m\lambda$

$-PQ<k\lambda <PQ\Rightarrow -19<k.4<19\Rightarrow k=-4,\mathrm{...},4$

Ta có:

$\begin{array}{l}PH+QH=PQ\iff \sqrt{Q{M}^2-d^2}+\sqrt{{\left(QM-k\lambda \right)}^2-d^2}=PQ\\ \iff Q{M}^2-d^2+P{Q}^2-2PQ\sqrt{Q{M}^2-d^2}={\left(QM-k\lambda \right)}^2-d^2\\ \iff P{Q}^2-2PQ\sqrt{Q{M}^2-d^2}=-2k.\lambda .QM+k^2{\lambda }^2\\ \iff 2PQ\sqrt{Q{M}^2-d^2}=P{Q}^2+2k.\lambda .QM-k^2{\lambda }^2\\ \iff 4P{Q}^2\left(Q{M}^2-d^2\right)=4k^2{\lambda }^{2}Q{M}^2+{\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)}^2+2.2k.\lambda .QM\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)\\ \iff d^2=\frac{Q{M}^2\mathrm{.4.}P{Q}^2-4k^2{\lambda }^{2}Q{M}^2-{\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)}^2-4k.\lambda .QM\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)}{4P{Q}^2}\\ \iff d^2=\frac{Q{M}^2\left(4P{Q}^2-4k^2{\lambda }^2\right)-\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)-4k.\lambda .QM\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)}{4P{Q}^2}\end{array}$

d đạt giá trị min khi $\left\{Q{M}^2\left(4P{Q}^2-4k^2{\lambda }^2\right)-\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)-4k.\lambda .QM\left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)\right\}$

đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow QM=\frac{4k\lambda \left(P{Q}^2-k^2{\lambda }^2\right)}{2\left(4P{Q}^2-4k^2{\lambda }^2\right)}=\frac{4k\lambda }{8}$

Với k = 1: $\Rightarrow Q{M}_{\min }=2$ nhưng $QM=m\lambda$ và $QM>\frac{PQ}{2}+\frac{\lambda }{2}=11,5$

→ Chọn $QM=12cm\Rightarrow PM=8\text{\hspace{0.33em}(cm)}\Rightarrow d=3,05\text{ (cm)}$

Với k = 2: $\Rightarrow Q{M}_{\min }=4$, mặt khác:

$QM>\frac{PQ}{2}+\lambda =13,5\text{ (cm)}$

Chọn $QM=16cm\Rightarrow PM=8\left(cm\right)\Rightarrow d=6,6\text{ (cm)}$

Với k = 3: $\Rightarrow Q{M}_{\min }=6$, mặt khác: $QM>\frac{PQ}{2}+\frac{3\lambda }{2}=15,5\text{ (cm)}$

Chọn $QM=16cm\Rightarrow PM=4\text{ (cm)}\Rightarrow d=2,4\text{ (cm)}$

Với k = 4: $\Rightarrow Q{M}_{\min }=8$, mặt khác: $QM>\frac{PQ}{2}+2\lambda =17,5\left(\text{cm}\right)$

Chọn $QM=20\text{ cm}\Rightarrow \text{PM}=4\text{ (cm)}\Rightarrow d=3,95\text{ (cm)}$

Vậy d đạt giá trị min khi $QM=16\text{ cm}$ và $d_{\min }=2,4\text{ (cm)}$