Hình học 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

1.1. Phép đối xứng tâm

a) Định nghĩa

Ký hiệu: ĐI

- I gọi là tâm đối xứng.

- Nếu ĐI(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.

- Ta có: ĐI(M)=M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM} \)

Phép đối xứng tâm

b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

- Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

ĐI(ABC)=A’B’C’.

c) Chú ý

Ta có: ĐI(M)=M’\( \Leftrightarrow \)ĐI(M’)=M.

Chứng minh: ĐI(M)=M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IM}  =  - \overrightarrow {IM'}  \Leftrightarrow \)ĐI(M’)=M.

1.2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:

ĐO(M)=M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\) ĐE(M)=M’(x0’;y0’) có biểu thức tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x{'_0} = 2a - {x_0}\\y{'_0} = 2a - {y_0}\end{array} \right..\)

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

1.3. Tính chất

Tính chất 1:

Nếu ĐI(M)=M’ và ĐI(N)=N’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}M'N' = MN\\\overrightarrow {M'N'}  =  - \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)

Tính chất 1 phép đối xứng tâm

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Ba điểm thẳng hàng qua phép đối xứng tâm

Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

1.4. Tâm đối xứng của một hình

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.

\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.

Tâm đối xứng của một hình

Ví dụ 1:

Cho A(-1;3), \(d:x - 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Hướng dẫn giải:

  • Ý 1: A’=ĐO(A) suy ra A’(1;-3).
  • Ý 2:

Cách 1:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐO(M)=M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y =  - y'\end{array} \right. \Rightarrow M( - x', - y')\)

\(M \in d \Rightarrow ( - x') - 2( - y') + 3 = 0 \Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Cách 2:

d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x - 2y + m = 0.\)

Ta có: \(M(3;0) \in d\)

ĐO(M)=M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - {x_M} =  - 3\\y' =  - {y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(M' \in d' \Rightarrow 3 - 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 3.\) 

Vậy phương trình của d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

 

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R=1.

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’=R=1.

I’=ĐO(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}' =  - {x_I} = 2\\{y_I}' =  - {y_I} =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)

 

Ví dụ 3:

Cho I(2;-3), \(d:3x + 2y - 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Hướng dẫn giải:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐI(M)=M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\y' =  - 6 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - x'\\y =  - 6 - y'\end{array} \right. \Rightarrow M(4 - x', - 6 - y')\)

\(M \in d \Rightarrow 3(4 - x') + 2( - 6 - y') - 1 = 0 \Leftrightarrow  - 3x' - 2y' - 1 = 0 \Leftrightarrow 3x' + 2y' + 1 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)

3. Luyện tập Bài 4 chương 1 hình học 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng tâm. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

3.1 Trắc nghiệm về phép đối xứng tâm

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phép đối xứng tâm

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2 trang 15 SGK Hình học 11

Bài tập 3 trang 15 SGK Hình học 11

Bài tập 1.11 trang 20 SBT Hình học 11

Bài tập 1.12 trang 20 SBT Hình học 11

Bài tập 1.13 trang 21 SBT Hình học 11

Bài tập 1.14 trang 21 SBT Hình học 11

Bài tập 14 trang 18 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 15 trang 18 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 16 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 17 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 18 trang 19 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 19 trang 19 SGK Hình học 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 1 hình học 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK