Bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12

Đề bài

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\);      

b) \(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;      

c) \(2{x^2}-{x^4} =  - 1\).

Hướng dẫn giải

+) Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \(y=f\left( x \right)\)  lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.

+) Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=a\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\)   với đường thẳng \(y=a.\)

+) Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\)

+) Tập xác định: \(D=R.\)

+) Sự biến thiên:

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right..\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \infty ;0 \right)\) và \(\left( 2;+\infty  \right)\); hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 2 \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\)

+) Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)

Bảng biến thiên:

+) Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \(\left( 0;\ 5 \right).\)

Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

b) \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0.\)

Ta có: \(Pt\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=-2.\)

Xét hàm số: \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}-6x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\ \end{align} \right..\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\)

Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\ \ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1=0\)  là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(y=-2.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-2\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

c) \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.\)

Xét hàm số: \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Sự biến thiên: \(y'=4x-4{{x}^{3}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\  & x=\pm 1 \\ \end{align} \right..\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 0;\ 1 \right);\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -1;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=1.\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\ {{y}_{CT}}=0.\)

Giới hạn: \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,=-\infty .\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\) và đường thẳng \(y=-1.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=-1\) cắt đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\)  tại hai điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.