Bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) \(y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1\);               b) \(y= {x^4} - 2{x^2} + 2\);

c) \(y = {1 \over 2}{x^4} + {x^2} - {3 \over 2}\);                 d) \(y =  - 2{x^2} - {x^4} + 3\).

Hướng dẫn giải

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có.

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y;\ \ \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y....\) 

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết

 a) Tập xác định: \(D=\mathbb R\) ;

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4)\);

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\) .

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;2)\); nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) và \(2;+\infty)\).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm \(x=-2\) và \(x=2\); \(y_{CĐ}=y(\pm 2)=15\).

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=-1\)

- Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  - \infty \)

Bảng biến thiên :

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\)

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

 Đồ thị 

b) Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1)\);

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm 1
\end{array} \right..\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\)  và \((0;1)\).

- Cực trị: 

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=2\).

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CT}=y(\pm 1)=1\).

-Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị 

c) Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1)\);

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\); đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

-Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}={-3\over 2}\)

-Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((-1;0)\) và \((1;0)\); giao \(Oy\) tại \((0;{-3\over 2})\).

Đồ thị như hình bên.

d) Tập xác định: \(D=\mathbb R\);

Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2)\);

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 4x\left( {1 + {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\); nghịch biến trên khoảng: \((0;+\infty)\).

- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=3\).

- Giới hạn: 

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  -\infty \)

Bảng biến thiên :

Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao \(Ox\) tại hai điểm \((1;0)\) và \((-1;0)\); giao \(Oy\) tại điểm \((0;3)\).

 Đồ thị như hình bên.