Bài giảng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế lớp 9

Bài giảng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế lớp 9

Cùng  tìm hiểu về những nội dung lý thuyết quan trọng và giải bài tập về Toán 9 giải hệ phương trình bằng phương pháp thế!

I. Lý thuyết

1. Phương trình tổng quát

Đối với dạng tổng quát của hệ, ta biểu diễn qua hai ẩn x, y và các hệ số, tham số của từng phương trình như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)

a. Tập nghiệm của hệ được phân chia thành ba trường hợp tính dưới đây:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\);

Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\);

Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'.}}\)

2. Phương pháp giải

Đối với các dạng phức tạp của hệ, ta dùng cách thế nghiệm, bằng các biến đổi đơn giản từ nghiệm này theo nghiệm kia kèm theo các tham số phụ thuộc ta có thể làm sáng tỏ được hệ phương trình đã cho.

Bước 1. Như cách diễn giải trên, ở phương trình số 1 ta biểu diễn y theo x như sau: \(y= \dfrac{c-ax}{b}\) thay giá trị biến đổi đó vào phương trình số 2. Ta sẽ biến đổi được phương trình số 2 thành dạng bậc nhất một ẩn và tìm ra được giá trị của x.

Bước 2. Sau khi đã tìm giá được giá trị x từ phương trình biến đổi số một rồi ta thay ngược lại vào \(y= \dfrac{c-ax}{b}\) sẽ tìm ra giá trị hợp lý của y.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Áp dụng kiến thức đã học để tìm nghiệm cho các phương trình dưới đây?

a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\);        b) \( \left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.; \)      

c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) Biểu diễn x theo y từ phương trình số một sau đó thay thế giá trị tìm được vào phương trình số hai ta có:

\(\left\{ \matrix{ x - y = 3 \hfill \cr 3x - 4y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr 3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr 9 + 3y - 4y = 2 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr - y = 2 - 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + y \hfill \cr y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 + 7 \hfill \cr y = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 10 \hfill \cr y = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là \((x;y)=(10; 7).\)

b) Biểu diễn y theo x từ phương trình số một sau đó thay thế giá trị tìm được vào phương trình số hai ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\4x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 5\\y = 2 - 4x\end{array} \right.   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x - 3.\left( {2 - 4x} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x - 6 + 12x = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\7x + 12x = 5 + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\19x = 11\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - 4x\\x = \dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y = 2 - 4.\dfrac{{11}}{{19}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{{19}}\\y =  - \dfrac{6}{{19}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{11}{19}; \dfrac{-6}{19} \right)}\)

c) Biểu diễn x theo y từ phương trình số một sau đó thay thế giá trị tìm được vào phương trình số hai ta có:

\(\left\{ \matrix{ x + 3y = - 2 \hfill \cr 5x - 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr 5\left( { - 2 - 3y} \right) - 4y = 11 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 10 - 15y - 4y = 11 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 15y - 4y = 11 + 10 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr - 19y = 21 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3y \hfill \cr y = -  \dfrac{ 21}{ 19} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 - 3. \dfrac{ - 21}{19} \hfill \cr y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{25}{19} \hfill \cr y = - \dfrac{21}{19} \hfill \cr} \right. \)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là \({\left(\dfrac{25}{19}; \dfrac{-21}{19} \right)}\)

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

a) \( \left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\);         

b) \( \left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) Ta có:\(\left\{ \matrix{ x + y\sqrt 5 = 0 \hfill \cr x\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr \left( { - y\sqrt 5 } \right).\sqrt 5 + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr - 5y + 3y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr - 2y = 1 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr y = \dfrac{1 - \sqrt 5 }{ - 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y\sqrt 5 \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2}.\sqrt 5 \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - \dfrac{5 - \sqrt 5 }{2} \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} \hfill \cr y = \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \hfill \cr} \right.\)

Kết luận như sau: (x,y) = \( {\left(\dfrac{\sqrt 5 - 5}{ 2} ; \dfrac{\sqrt 5 - 1}{ 2} \right)}\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \left( {2 - \sqrt 3 } \right)x - 3y = 2 + 5\sqrt 3 \hfill \cr 4x + y = 4 - 2\sqrt 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {2 - \sqrt 3 } \right)x - 3\left( {4 - 2\sqrt 3 - 4x} \right) = 2 + 5\sqrt 3  \ (1) \hfill \cr y = 4 - 2\sqrt 3 - 4x \ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (1), ta được:

\(( 2 - \sqrt 3 )x - 3(4 - 2\sqrt 3 - 4x) = 2 + 5\sqrt 3 \Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x -12 + 6 \sqrt 3 + 12x=2+ 5 \sqrt 3\)

\(\Leftrightarrow 2x -\sqrt 3 x + 12x=2+ 5 \sqrt 3 +12 -6 \sqrt 3  \Leftrightarrow (2 -\sqrt 3  + 12)x= 2+12 +5\sqrt 3 -6 \sqrt 3 \)

\(\Leftrightarrow (14- \sqrt 3)x=14-\sqrt 3 \Leftrightarrow x=1\)

Thay x=1, vào (2), ta được:

\(y = 4 - 2\sqrt 3 - 4.1=-2 \sqrt 3.\)

Kết luận như sau: (x,y) = \((1; -2 \sqrt 3).\)

Bài 3 : “ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương nhau” Câu nói trên đúng hay sai?

A. Sai    B. Đúng

Bài 4: Xác định các hệ số của a, b, c của phương trình ax + by = c biết rằng đường thẳng biểu diễn nghiệm của nó là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

A. a = -1; b = -1và c = 1    C. a = 1; b = 0 và c = -1

B. a = 1; b = -1 và c = 0    D. a = 0; b = -1 và c = 1

Bài 5: Đường thẳng song song với trục hoành có phương trình dạng nào sau đây (với )?

A. 0x + y = c    B. x + 0y = c

C. x + 0y = c    D. x + y = c

Bài 6: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x−2y=1?

A. (3;1)

B. (1;3)

C. (1;2)

D. (2;1)

Bài 7: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình 2x+y=3?

A. (1;1)

B. (0;1)

C. (0;3)

D. (2;-1)

Bài 8: Cho phương trình (2m+3)x+(m+5)y=1−4m (m là tham số). Hỏi phương trình luôn có nghiệm là bao nhiêu với mọi m?

A. (-3;2)

B. (1;1)

C. (3;2)

D. (3;-2)

Bài 9 Cho phương trình (m+2)x−my=−1 (m là tham số). Hỏi phương trình luôn có nghiệm là bao nhiêu với mọi m?

A. (−\(\dfrac{1}{2}\);−\(\dfrac{1}{2}\))

B. (\(\dfrac{1}{2}\);−\(\dfrac{1}{2}\))

C. (−\(\dfrac{1}{2}\);\(\dfrac{1}{2}\))

D. (\(\dfrac{1}{2}\);\(\dfrac{1}{2}\))

Bài 10: Đường thẳng (d):ax+by=6 (với a>0,b>0) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9. Tìm tích ab.

A. 11

B. 10

C. 12

D. 13

Sử dụng cách thế trong giải hệ

Với những gì đã giúp các bạn giải quyết về giải hệ phương trình bằng phương pháp thế bài tập trên đây, hy vọng rằng sẽ giúp các bạn đạt được kết quả cao trong học tập đặc biệt là môn Toán học!