Bài 22 trang 111 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường thẳng \(d\), điểm \(A\) nằm trên đường thẳng \(d\), điểm \(B\) nằm ngoài đường thẳng \(d\). Hãy dựng đường tròn \((O)\) đi qua điểm \(B\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) tại \(A\).

Hướng dẫn giải

+) Bài toán dựng hình chia làm \(4\) bước:

Bước 1. Phân tích: giải sử hình cần dựng đã được vẽ. Lập luận để tìm cách dựng được hình.

Bước 2. Dựng hình: Dựa vào bước phân tích trên liệt kê thứ tự các phép dựng hình cơ bản.

Bước 3. Chứng minh: Bằng lí luận, chứng minh hình vừa dựng thỏa mãn tất cả các giả thiết của bài toán.

Bước 4. Biện luận: thiết lập điều kiện giải được của bài toán. Tức là xét xem bài toán giải được trong trường hợp nào và có bao nhiêu nghiệm.

+) Sử dụng các tính chất: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn \(AB\) thì cách đều hai điểm \(A,\ B\)

Lời giải chi tiết

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài.

Tâm \(O\) thỏa mãn hai điều kện:

- \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (vì đường tròn đi qua \(A\) và \(B\)).

- \(O\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(d\) tại \(A\) (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\) tại \(A\)).

Vậy \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.

Cách dựng:

- Dựng đường trung trực \(m\) của \(AB\).

- Từ \(A\) dựng một đường thẳng vuông góc với \(d\) cắt đường thẳng \(m\) tại \(O\).

- Dựng đường tròn \((O;\ OA)\0. Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(OA=OB\), do đó đường tròn \((O;OA)\) đi qua \(A\) và \(B\).

Đường thẳng \(d\perp OA\) tại \(A\) nên đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\) tại \(A\).

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình.