1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2\left| {x - 1} \right| - \frac{5}{{y - 1}} =  - 3\\\left| {x - 1} \right| + \frac{2}

* Hướng dẫn giải

1) Điều kiện: \(y \ne 1.\)

Biến đổi phương trình về dạng

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2\left| {x - 1} \right| - \frac{5}{{y - 1}} =  - 3\\
2\left| {x - 1} \right| + \frac{4}{{y - 1}} = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{9}{{y - 1}} = 9\\
2\left| {x - 1} \right| + \frac{4}{{y - 1}} = 6
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y - 1 = 1\\
\left| {x - 1} \right| = 3 - \frac{2}{1}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2{\rm{ (tmdk)}}\\
{\rm{2}}\left| {x - 1} \right| = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

TH1: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x - 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x = 2
\end{array} \right.\)

TH2: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x - 1 =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x = 0
\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x = 2
\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 2
\end{array} \right.\)

2) a) Để hai đường thẳng d và d’ song song với nhau thì \(\left\{ \begin{array}{l}
 - 1 = {m^2} - 2\\
m + 2 \ne 3
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} = 1\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m =  \pm 1\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1.\). Vậy m = - 1 là giá trị cần tìm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm đưa về: \({x^2} + 2x + m - 1 = 0\) (*)

d cắt  tại hai điểm phân biệt  pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2\)

Khi đó theo Vi – et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - 2\\
{x_1}{x_2} = m - 1
\end{array} \right.\)

Theo giả thiết ta có:

\(x_1^3 - x_2^3 + {x_1}{x_2} = 4 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2}} \right] + {x_1}{x_2} - 4 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {5 - m} \right) + \left( {m - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2} - 1} \right)\left( {5 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
{x_1} - {x_2} = 1
\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện thì m = 5 không thỏa mãn.

Kết hợp \(x_1-x_2=1\) với hệ thức Vi – et: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = 1\\
{x_1} + {x_2} =  - 2\\
{x_1}{x_2} = m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} =  - \frac{1}{2}\\
{x_2} =  - \frac{3}{2}\\
m = \frac{7}{4}{\rm{ (t/m)}}
\end{array} \right.\)

Vậy \(m = \frac{7}{4}\) là giá trị cần tìm.