Truyện kể rằng, do nhà vua nghi ngờ người thợ kim hoàn đã trộn lẫn bạc vào trong chiếc vương miện bằng vàng nên ông

Câu hỏi :

Truyện kể rằng, do nhà vua nghi ngờ người thợ kim hoàn đã trộn lẫn bạc vào trong chiếc vương miện bằng vàng nên ông đã ra lệnh cho Ác‑si‑mét phải tìm ra sự thật. Nếu người thợ kim hoàn trộn bạc vào trong vương miện thì Ác‑si‑mét phải tìm ra xem trong vương miện có bao nhiêu phần trăm khối lượng vàng. Đặt mình vào hoàn cảnh của Ác‑si‑mét, em được cấp các dụng cụ sau:

+ Một chiếc vương miện;

+ Một khối vàng nguyên chất có cùng khối lượng với chiếc vương miện;

+ Một thanh nhựa cứng và thẳng, khối lượng không đáng kể;

+ Một chậu nước;

+ Một đĩa có móc treo có khối lượng chưa biết;

+ Nhiều quả nặng lớn nhỏ khác nhau đã biết trước khối lượng;

+ Các sợi dây mảnh, nhẹ, giá treo.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Cơ sở lí thuyết

Kí hiệu: V_m; m₀ là thể tích, khối lượng của vương miện

V_v: Thể tích khối vàng

D_n: Khối lượng riêng của nước

+ Xét sự cân bằng của khối vàng (hoặc vương miện) có khối lượng m₀ và vật m khi treo ở hai đầu thanh cứng

 

10ml₂=10m₀l₁                          (1)

+ Khi nhúng khối vàng trong nước, để có sự cân bằng ta phải giảm khối lượng của vật m đi Dm₁

10(m-Dm₁)l₂=10(m₀-D_nV_v)l₁     (2)

 

+ Thay khối vàng bằng vương miện, ta phải giảm khối lượng của m đi Dm₂

10(m-Dm₂)l₂=10(m₀-D_nV_m)l₁     (3)……………………….................

(1)(2)Þ $\frac{m-\Delta m_1}{m}=\frac{m_0-D_n{V}_v}{m_0}\Rightarrow V_v=\frac{m_0\Delta m_1}{m{D}_n}$

(1)(3)Þ $\frac{m-\Delta m_2}{m}=\frac{m_0-D_n{V}_m}{m_0}\Rightarrow V_m=\frac{m_0\Delta m_2}{m{D}_n}$…………………..........

Gọi tỉ lệ vàng là x; tỉ lệ bạc là 1-x

$\left\{\begin{array}{l}\frac{V_m}{V_v}=\frac{\frac{m_{0}x}{D_V}+\frac{m_0(1-x)}{D_B}}{\frac{m_0}{D_V}}=x+\frac{D_V}{D_B}(1-x)\\ \frac{V_m}{V_v}=\frac{\Delta m_2}{\Delta m_1}\end{array}\right.$

$\frac{\Delta m_2}{\Delta m_1}=\frac{D_v}{D_B}+(1-\frac{D_V}{D_B})x\Rightarrow x=\frac{\frac{D_V}{D_B}-\frac{\Delta m_2}{\Delta m_1}}{\frac{D_V}{D_B}-1}$

Biết được D_V; D_B; Dm₁; Dm₂ ta sẽ xác định được x……………………

Tiến trình thực hiện

+ Buộc dây ở hai đầu thanh, một bên treo vương miện, một bên treo đĩa có chứa nhiều quả nặng. Dùng dây treo thanh ở một điểm nào đó sao cho thanh cân bằng nằm ngang. …………………………………………………………...

+ Nhúng khối vàng vào trong chậu nước đồng thời lấy đi một số quả nặng có tổng khối lượng Dm₁ sao cho thanh vẫn cân bằng nằm ngang….

+ Thay khối vàng bằng chiếc vương miện và nhúng vương miện này trong nước. Lấy đi một số qủa nặng sao cho thanh vẫn cân bằng nằm ngang. Tính tổng khối lượng Dm₂ của các quả nặng lấy đi (so với lúc đầu tiên). Nếu Dm₂≠Dm₁ thì chứng tỏ vương miện bị pha tạp.

+ Thay các số liệu cần thiết vào công thức (4) để tính x

+ Tính tỉ lệ % của vàng trong vương miện: TL = x.100%......................