Hình học 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Định lý:

Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cotan góc kề

Cụ thể trong tam giác trên thì:

\(b=a.sinB=a.cosC;c=a.sinC=a.cosB\)

\(b=c.tanB=c.cotC;c=b.tanC=b.cotB\)

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=10 và \(\widehat{C}=30^{\circ}\). Giải tam giác vuông ABC.

Giải: ta dễ dàng suy ra: \(\widehat{B}=60^{\circ}\)

\(AC=BC.cosC=10.cos30^{\circ}=10.\frac{\sqrt{3}}{2}=5.\sqrt{3}\) 

\(AB=BC.sinC=10.sin30^{\circ}=10.\frac{1}{2}=5\)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC=14. Tính độ dài AB, AC biết AB=AC

Hướng dẫn: Vì AB=AC nên tam giác ABC vuông cân tại A suy ra: \(\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}\) 

Khi đó: \(AB=AC=BC.sin45^{\circ}=14.\frac{1}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}\)

Bài 2: Một cái cây cao 10m tại một thời điểm bóng của cây trên mặt đất là 4m. Hãy tính góc (làm tròn tới phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

Hướng dẫn: ta xem cái cây, hướng tia sáng và mặt đất hợp thành tam giác ABC như hình vẽ

Khi đó: \(\widehat{ACB}\) chính là góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất

Ta có: \(tan\widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 60^{\circ}12{}'\)

Bài 3: Một con thuyền băng qua một khúc sông với vận tốc là 3km/h trong vòng 6 phút. Biết rằng hướng thuyền đi tạo với bờ 1 góc 60 độ. Tính chiều rộng (m) của khúc sông đó

Hướng dẫn: ta sẽ xem mô tả đề bài như trong hình vẽ ta sẽ giải bài toán thông qua giải tam giác ABC như hình

dễ dàng thấy được \(\widehat{BAC}=30^{\circ}\) ta sẽ đổi đơn vị: \(3km/h=\frac{5}{6}m/s\), 6 phút=360 (s)

\(\Rightarrow S=\frac{5}{6}.360=300(m)\)\(\Rightarrow AB=S.cos30^{\circ}=300.\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}(m)\)

Bài 1:  Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

Hướng dẫn: 

Với tam giác ABC đặt góc tạo bởi AB và AC là \(\alpha\). ta sẽ Cm: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.sin\alpha\)

Ta có: \(\Delta AHC\) vuông tại H nên: \(CH=AC.sin\alpha\)

 \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.CH=\frac{1}{2}.AB.AC.sin\alpha\)

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có BC=a, AB=c, AC=b. Chứng minh rằng: \(a^2=b^2+c^2-2.b.c.cosA\)

Hướng dẫn: Vẽ CD vuông góc với AB (D thuộc AB)

Đặt \(AD=b',BD=a'\Rightarrow c=a'+b'\)

Áp dụng định lý pi-ta-go ta có: \(a^2=a'^2+CD^2=(c-b')^2+b^2-b'^2=c^2+b^2-2.c.b'\)

mà \(b'=b.cosA\Rightarrow a^2=b^2+c^2-2.b.c.cosA\)

Qua bài giảng Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
• Vận dụng kiến thức để làm bài toán về giải tam giác vuông

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=8, \(\widehat{C}=30^{\circ}\). \(S_{\Delta ABC}\) có giá trị là:

   

  • A. \(8\sqrt{2}\)
  • B. \(8\sqrt{3}\)
  • C. \(4\sqrt{3}\)
  • D. \(4\sqrt{2}\)

• Câu 2:

  Cho tam giác ABC vuông tại A có AB-AC=6. Biết rằng \(\widehat{C}=\alpha, tan\alpha =3\). Giá trị của \(S_{\Delta ABC}\) là:

  • A. \(13\)
  • B. \(14,5\)
  • C. \(13,5\)
  • D. \(14\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 68 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 69 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 70 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 71 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.1 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.2 trang 116 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.3 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.4 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.4 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.6 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.7 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 4.8 trang 117 SBT Toán 9 Tập 1

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.