Hình học 9 Bài 2: Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Nhận xét:

Từ định nghĩa trên, dễ thấy các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn luôn dương. Hơn nữa ta có: \(sin\alpha < 1, cos\alpha <1\)

Chú ý:

Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) có \(sin\alpha =sin\beta\) ( hoặc \(cos\alpha =cos\beta , tan\alpha =tan\beta ,cotg \alpha =cotg\beta\) ) thì \(\alpha =\beta\) vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng

Định lý:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin  góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia

Cụ thể trong hình trên với \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau nên:  \(sin\alpha =cos\beta , cos\alpha =sin\beta, tan \alpha =cotg\beta , cotg\alpha =tan\beta\)

BẢNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Chú ý:

Từ nay khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta bỏ kí hiệu "^". Chẳng hạn viết \(sinA\) thay vì viết \(sin\widehat{A}\)

Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn ta có: \(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }; cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\)

và \(tan\alpha .cotg\alpha =1 , sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\); \(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\)

(các công thức trên có thể chứng minh dễ dàng)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=6, BC=10. Tính sinB và cosB

Hướng dẫn: Ta có: \(cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0.6 ;AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8 \Rightarrow sinB=\frac{AC}{BC}=0.8\)

Bài 2: Chuyển các tỉ số lượng giác sau thành các tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn \(45^{\circ}\) : \(sin72^{\circ};cos50^{\circ}; tan68^{\circ}; cotg88^{\circ}\)

Hướng dẫn: Ta có: \(sin72^{\circ}=cos18^{\circ};cos50^{\circ}=sin40^{\circ}; tan68^{\circ}=cotg22^{\circ}; cotg88^{\circ}=tan2^{\circ}\)

Bài 3: Cho tam giác ABC. Biết cosB=0,6. Tính các tỉ số lượng giác góc C

Hướng dẫn: Ta có: \(sinC=cosB=0.6\) và \(cosC=sinB=\sqrt{1-cos^2B}=0.8\)

\(tanC=\frac{sinC}{cosC}=\frac{0.6}{0.8}=\frac{3}{4}\) và \(cotC=\frac{cosC}{sinC}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}\)

Bài 1:

a) Rút gọn biểu thức: \(S=cos^2\alpha +tan^2\alpha .cos^2\alpha\) 

b) chứng minh:  \(\frac{(sin\alpha +cos\alpha )^2-(sin\alpha -cos\alpha )^2}{sin\alpha .cos\alpha }=4\)

Hướng dẫn:

a) \(S=cos^2\alpha +tan^2\alpha .cos^2\alpha=cos^2\alpha+\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha }.cos^2\alpha =sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\)

b) \(VT=\frac{(1+2.sin\alpha .cos\alpha )-(1-2.sin\alpha .cos\alpha )}{sin\alpha.cos\alpha }=\frac{4.sin\alpha .cos\alpha }{sin\alpha .cos\alpha }=4\)

( Áp dụng: \(sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\) )

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

Hướng dẫn:Kẻ AH vuông góc với BC ( \(H\in BC\) )

Khi đó: \(sinB=\frac{AH}{c}\Rightarrow sinB.c=AH\) và \(sinC=\frac{AH}{b}\Rightarrow sinC.b=AH\) 

từ đó ta có: \(sinB.c=sinC.b\Rightarrow \frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\) .

Tương tự kẻ đường cao BD ( \(D\in AC\) ) sẽ chứng minh được: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB} \Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)

Qua bài giảng  Tỷ số lượng giác của góc nhọn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB=5, BC=10. Giá trị của sinB và cosB lần lượt là

   

  • A. \(sinB=\frac{1}{2};cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • B. \(sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}; cosB=\frac{1}{2}\)
  • C. \(sinB=\frac{1}{\sqrt{2}};cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  • D. \(sinB=\frac{\sqrt{3}}{2};cosB=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

• Câu 2:

  Giá trị của biểu thức sau là bao nhiêu: \(S=cos^215^{\circ}+cos^225^{\circ}+cos^235^{\circ}+cos^245^{\circ}+cos^255^{\circ}+cos^265^{\circ}+cos^275^{\circ}\)

  • A. \(2,5\)
  • B. \(3\)
  • C. \(3,5\)
  • D. \(4\)

• Câu 3:

  Rút gọn biểu thức sau: \(T=(1+cos\alpha )(1-cos\alpha )-tan^2\alpha +sin^2\alpha .tan^2\alpha\)

  • A. \(1\)
  • B. \(sin\alpha\)
  • C. \(cos\alpha\)
  • D.

• Câu 4:

  Cho tam giác ABC vuông tại C. Biết \(cosA=\frac{5}{13}\). Khi đó tan B=??

  • A. \(\frac{12}{13}\)
  • B. \(\frac{5}{12}\)
  • C. \(\frac{12}{5}\)
  • D. \(\frac{13}{12}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 2.11 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.12 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.13 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.14 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.15 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.16 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.17 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.18 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.19 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.20 trang 110 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.21 trang 111 SBT Toán 9 Tập 1

Bài tập 2.22 trang 111 SBT Toán 9 Tập 1

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.