Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\,\,;\,\,N\left( {1; - 2;3} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;1;2} \right)\);

b) Đi qua hai điểm \(A\left( {1;1; - 1} \right)\,\,;\,\,B\left( {5;2;1} \right)\)và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với \(abc \ne 0\)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) =  - 5\left( {2;1;1} \right)\).

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\). Mp(MNP) đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình là:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0\)

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc vói \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1;2} \right)\) và vuông góc với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left( {1; - 4;0} \right)\)

(P) qua \(A\left( {1;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;0} \right)\) nên (P) có phương trình:

\(1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0\)

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \(x - 5y + z = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 5;1} \right)\).

\(Mp\left( \beta  \right)\) qua \(A\left( {3;2; - 1} \right)\) song song với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên \(\left( \beta  \right)\) có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó \(\left( \beta  \right)\): \(\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)

d) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;1} \right)\)

\(Mp\left( \alpha  \right)\): \(x - y + z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m  = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(Mp\left( \beta  \right)\) đi qua A, B và vuông góc với \(mp\left( \alpha  \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left( {0;2;2} \right)\)

Vậy (P): \(2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0\)

e) Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(1\left( {z - c} \right) = 0 \Leftrightarrow z - c = 0\)

Tương tự mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \(M\left( {a,b,c} \right)\) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

g) Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0,b,0} \right)\,,\,C\left( {0,0,c} \right)\).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\({{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\)

Vậy mp(ABC): \({x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\).

h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(OH \bot mp\left( {ABC} \right)\).

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;1} \right)\) nên có phương trình :

\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0\)