Toán 6 Bài 13: Bội và ước của một số nguyên

Cho \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0:a \vdots b\)

Suy ra:

- a là bội của b

- b là ước của a

Tính chất:

1. \(\left. \begin{array}{l}a \vdots b\\b \vdots c\end{array} \right\} \Rightarrow a \vdots c\)

2. \(\left. \begin{array}{l}a \vdots b\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right\} \Rightarrow a.m \vdots b\)

3. \(\left. \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right\} \Rightarrow (a + b) \vdots m,\,\,(a - b) \vdots m\)

Ví dụ 1:

a) Tìm bốn bội của -3; 3

b) Tìm các bội của -15, biết rằng chúng trong khoảng từ 100 đến 200.

Giải

a) Các bội của -3 và 3 đều có dạng 3k với \(k \in \mathbb{Z}\)

có bốn bội của -3; 3 là -6, -3, -1, 0, 1, 3

b) Trong khoảng từ 100 đến 200 bội của -15 là các số sau 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195.

Ví dụ 2: Cho tập hợp A ={7; 8; 9; 10} và B = {4; 5; 6}.

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng a + b với \(a \in A,b \in B.\)

b) Tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2.

c) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng a.b với \(a \in A,b \in B\) trong tập trên có bao nhiêu phần tử là bội của 5.

Giải

a)

C = {a + b| \(a \in A,b \in B\)}

C = {11, 12, 13, 14, 15, 16}

b) Có ba số chia hết cho 2 là 12, 14, 16

c) T = {28, 35, 42, 32, 40, 48, 36, 45, 54, 50, 60}

Trong tập hợp T có các phần tử là bội của 5 là: 35, 40, 45, 50, 60.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8} + {2^9}\) là bội của (-41).

Giải

\(S = (2 + {2^2} + {2^3}) + {2^3}(2 + {2^2} + {2^3}) + {2^6}(2 + {2^2} + {2^3})\)

\(S = 41(2 + {2^2} + {2^3}) \Rightarrow S \vdots ( - 41)\)

 Vậy S là bội của -41

Bài 1: Tìm \(a \in \mathbb{Z}\) sao cho

a) 2a – 7 chia hết cho a – 1

b) a + 2 là ước của \({a^2} + 2\)

Giải

a)

2a – 7 = 2(a – 1)- 5

Nếu \((2a{\rm{ }}-{\rm{ }}7) \vdots a - 1\) thì \(5\,\,\, \vdots \,\,\,a - 1\)

\(\begin{array}{l}a - 1 =  \pm 1,a - 1 =  \pm 5\\a = 0,a = 2,a = 6,a =  - 4\end{array}\)

Vậy \(a \in {\rm{\{ }}0,2,6, - 4\} \)

b) \({a^2} + 2 = a(a + 2) - 2(a + 2) + 6 \Rightarrow {a^2} + 2\,\, \vdots \,\,(a + 2)\, \Rightarrow 6\,\, \vdots \,\,a + 2\)

\(a + 2 =  \pm 1,\,\,\,a + 2 =  \pm 2,\,\,\,a + 2 =  \pm 3,\,\,a + 2 =  \pm 6\)

Vậy \(a \in {\rm{\{ }} - 8, - 5, - 4, - 3, - 1,\,\,0,\,\,1,\,\,4\} \)

Bài 2: Tìm \(a,b \in \mathbb{Z}\) sao cho (a – 3) b – a = 5.

Giải

\((a - 3)b - a = 5 \Rightarrow b = \frac{{a + 5}}{{a - 3}}\)

Để \(b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + 5\,\,\, \vdots \,\,a - 3\,\, \Rightarrow (a + 5) = {\rm{[}}(a - 3)\,\, + \,\,8]\,\, \vdots \,\,(a - 3)\)

\( \Rightarrow 8\,\, \vdots \,\,(a - 3)\,\, \Rightarrow a - 3 =  \pm 8\) hoặc \(a - 3 =  \pm 1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a =  - 5\\b = 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 9\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 7\end{array} \right.\)

Bài 3: Cho a và b là hai số nguyên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a là bội của b và b là bội của a thì a = b hoặc a = -b.

Giải

a là bội của b nên a = m.b

b là bội của a nên b = n.a

Do đó a = m.n.a \( \Rightarrow \) m.n \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\n =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy a = b khi m = 1, n= 1 hoặc a =- b khi m = -1, n = -1.

Qua bài giảng Bội và ước của một số nguyên này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Khái niệm bội và ước của 1 số nguyên

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 13 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

  • A. Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0
  • B. Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên
  • C. Số 0 là ước của mọi số nguyên
  • D. 9 là bội của 3

• Câu 2:

  Tìm số nguyên x, biết 25x = 100

  • A. 4
  • B. 2
  • C. 25
  • D. -4

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 6 Bài 13 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 6 tập 1

Bài tập 156 trang 91 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 155 trang 91 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 154 trang 91 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 101 trang 97 SGK Toán 6 Tập 1

Bài tập 152 trang 91 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 151 trang 91 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 150 trang 91 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 106 trang 97 SGK Toán 6 Tập 1

Bài tập 105 trang 97 SGK Toán 6 Tập 1

Bài tập 104 trang 97 SGK Toán 6 Tập 1

Bài tập 103 trang 97 SGK Toán 6 Tập 1

Bài tập 102 trang 97 SGK Toán 6 Tập 1

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.