Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \( Q = \frac{{18{a^2} - 9ab + {b^2}}}{{9{a^2} - 3ab + ac}}\)

* Hướng dẫn giải

Vì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm nên a≠0. Biểu thức Q có dạng đẳng cấp bậc 2 ta  hia cả tử và mẫu của Q cho a² thì \( Q = \frac{{18 - 9\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}}\)

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình, theo Vi-et ta có: \(\begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{x}{a} \end{array}\)

Vậy: \( Q = \frac{{18 - 9\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{9 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}}\)

Ta đánh giá \((x_1+x_2)^2\) qua x₁x₂ với điều kiện \( x_1,x_2∈[0;3]\)

Giả sử 

\(\begin{array}{l} {\rm{0}} \le {{\rm{x}}_1} \le {{\rm{x}}_2} \le 3 \to \left\{ \begin{array}{l} {{\rm{x}}_1}^2 \le {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\\ {{\rm{x}}_2}^2 \le 9 \end{array} \right. \to {({{\rm{x}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{x}}_2})^2} = {{\rm{x}}_1}^2 + {{\rm{x}}_2}^2 + 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} \le 9 + 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\\ \to \Rightarrow Q \le \frac{{18 + 9\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3{x_1}{x_2} + 9}}{{9 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}}} = 3 \end{array}\)Đẳng thức xảy ra

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = {x_2} = 3\\ {x_1} = 0;{x_2} = 3 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} = 6\\ \frac{c}{a} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - 6a\\ c = 9a \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} = 3\\ \frac{c}{a} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = - 3a\\ c = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của Q  là 3.