Đề kiểm tra 45 phút - Đề số 2 - Chương 1 - Hình học 9

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài
Bài 1. Cho góc nhọn α, biết \(\cos \alpha  = {3 \over 4}\). Không tính số đo góc \(α\), hãy tính \(\sinα, \tanα, \cotα\).

Bài 2. Cho \(∆ABC\) có \(AB = 12cm, AC = 16cm, \)\(BC = 20cm.\)

a. Tính đường cao AH của ∆ABC

b. Chứng minh rằng: \(AB.\cos B + AC.\cos C = 20cm\)

Bài 3. Cho hình bình hành \(ABCD\) có AC là đường chéo lớn. Kẻ \(CH ⊥ AD (H ∈ AD)\) và \(CK ⊥ AB (K ∈ AB)\)

a. Chứng minh : \(∆CKH\) và \(∆ABC\) đồng dạng.

b. Chứng minh: \(HK = AC.\sin \widehat {BAD}\)

Hướng dẫn giải

Bài 1. Ta có:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \cr&\Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  = \sqrt {1 - {{\left( {{3 \over 4}} \right)}^2}}  = {{\sqrt 7 } \over 4}  \cr  & \tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = {{\sqrt 7 } \over 4}:{3 \over 4} = {{\sqrt 7 } \over 3};\,\cr&\cot \alpha  = {{3\sqrt 7 } \over 7} \cr} \)

Cách khác:

Xét \(∆ABC\) vuông tại A, có các kích thước như hình vẽ bên; \(\widehat {ABC} = \alpha \)

\(\eqalign{  & \cos \alpha  = {3 \over 4}\,hay\,{c \over a} = {3 \over 4}  \cr  &  \Rightarrow c = {3 \over 4}a \Rightarrow {c^2} = {9 \over {16}}{a^2} \cr} \)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

\(\eqalign{  & {b^2} = {a^2} - {c^2} = {a^2} - {9 \over {16}}{a^2} = {7 \over {16}}{a^2}\cr& \Rightarrow b = {{\sqrt 7 } \over 4}a  \cr  &  \Rightarrow \sin \alpha  = {b \over a} = {{\sqrt 7 } \over 4};\,\tan \alpha  = {{\sqrt 7 } \over 3};\cr&\cot \alpha  = {{3\sqrt 7 } \over 7} \cr} \)

Bài 2.

a. Dễ thấy \(∆ABC\) vuông tại A vì:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\left( {{{12}^2} + {{16}^2} = {{20}^2}} \right)\) (định lí Pi-ta-go đảo)

Xét \(∆ABC\) vuông, đường cao AH, ta có:

\(AH.BC = AB.AC\) (định lí 3)

\( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\,\left( {cm} \right)\)

b. Ta có: \(\cos B = {{AB} \over {BC}};\,\cos C = {{AC} \over {BC}}\)

Biến đổi vế trái :

\(\eqalign{  & AB.\cos B + AC.\cos C \cr&= AB.{{AB} \over {BC}} + AC.{{AC} \over {BC}} \cr&= {{A{B^2}} \over {BC}} + {{A{C^2}} \over {BC}}  \cr  &  = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {BC}} = {{B{C^2}} \over {BC}} = BC \cr} \)

Bài 3. a. Ta có: AB // CD (gt) \( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CDH}\) (đồng vị)

Tương tự : AD // BC \( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {KBC}\)

Do đó: \(\widehat {KBC} = \widehat {CDH} \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat C_2}\)

Vậy \(∆CKB\) đồng dạng \(∆CHD\) (g.g)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {{CK} \over {CH}} = {{CB} \over {CD}},\text{ mà }\,CD = AB  \cr  &  \Rightarrow {{CK} \over {CH}} = {{CB} \over {AB}}\,\left( 1 \right) \cr} \)

AB // CD, mà \(AK ⊥ CK ⇒ CD ⊥ CK\) hay \(\widehat {KCD} = \widehat {BKC} = 90^\circ \)

Mặt khác \(\widehat {ABC}\) là góc ngoài của ∆BKC nên:

\(\widehat {ABC} = \widehat {BKC} + {\widehat C_1} = 90^\circ  + {\widehat C_1}\)

Lại có: \(\widehat {KCH} = \widehat {KCD} + {\widehat C_2} = 90^\circ  + {\widehat C_2}\)

mà \({\widehat C_2} = {\widehat C_1}\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {KCH}\)  (2)

Từ (1) và (2) \(⇒ ∆CKH\) đồng dạng \(∆BCA\) (c.g.c)

b. Ta có: \(∆CKH\) đồng dạng \(∆BCA\) (cmt)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {{HK} \over {CA}} = {{CK} \over {CB}} = \sin \widehat {KBC}\cr& \Rightarrow HK = CA.\sin \widehat {KBC}  \cr  & \text{Mà }\,\widehat {KBC} = \widehat {BAD}\,\left( {cmt} \right) \cr} \)

Do đó: \(HK = AC.\sin \widehat {BAD}\)

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK