Ta có :

`f(0) = a . 0^2 + b . 0 +c = 0 + 0 +c =c`

Vì `f(0) -> c` cũng là số nguyên

`f(1) = a . 1^2 + b . 1 +c = a +b +c` 

Vì `f(1)` là số nguyên `-> a +b+c` là số nguyên

Mà `c` là số nguyên `-> a +b` là số nguyên  

`f(-1) = a . (-1)^2 +b . (-1) +c = a - b +c` là số nguyên 

Mà `f(-1)` và  `c` là số nguyên `-> a -b` là số nguyên  

Ta có :

`f(1) + f(-1) = (a+b+c) + (a-b+c) = 2a + 2c`   

Do `f(1)` và `f(-1)` đều là số nguyên `-> f(1) + f(-1)` là số nguyên

`-> 2a +2c` là số nguyên 

Vì `c` là số nguyên `-> 2c` là số nguyên

`-> 2a` là số nguyên

`-> a` là số nguyên 

`f(-1/2) = a . (-1/2)^2 + b . (-1/2) +c= a/4 - b/2 +c`

Do `a` là số nguyên `-> a/4` là số nguyên 

Vì `f(-1/2)` và `a/4` và `c` đều là số nguyên

`-> b/2` là số nguyên

`-> b` là số nguyên 

Vậy `a  ;  b ; c` là các số nguyên . 

Đáp án:

 `* f(0) = a . 0² + b . 0 + c = c`

`text{ Mà f(0) nguyên nên c nguyên (1)}`

`* f(1) = a . 1² + b + c = a + b + c`

`text{ Mà f(1) nguyên và c nguyên nên a + b nguyên  }`

`* f(-1)= a . (-1)² + b . (-1) + c = a - b + c`

 `text{ Mà f(-1) nguyên và c nguyên nên a - b nguyên }`

`* f(-1/2) = a. (-1/2)^2 +b . (-1/2) + c = a/4 + b/2 + c `

`text{ f(1) + f(-1) = (a + b + c) + (a - b + c) = 2a + 2c}`

`text{ Mà f(1) + f(-1) nguyên ⇒ 2a + 2c nguyên}`

`text{ Mà c nguyên ⇒ 2c nguyên}`

`text{ ⇒ 2a nguyên ⇒ a nguyên  (2)}`

`f(-1/2) = a . (-1/2)^2 + b . (-1/2) + c = a/4 - b/2 + c`

`text{ Mà f(-1/2 ) là số nguyên và a/4  và c là số nguyên}`

`text{ Suy ra b/2 ⇒ b là số nguyên (3)}`

`text{ Từ (1) , (2) , (3) suy ra a , b , c là số nguyên (đpcm)}`