Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔDEH` và `ΔDFH` có :

`EH = FH` (Do `H` là trung điểm của `EF`

`DH` chung

`DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)

`-> ΔDEH = ΔDFH` (cạnh - cạnh - cạnh)

$\\$

Do `ΔDEH = ΔDFH` (chứng minh trên)

`-> hat{DHE} = hat{DHF}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{DHE} + hat{DHF} = 180^o` (2 góc kề bù)

`-> hat{DHE} = hat{DHF} = 180^o/2 = 90^o`

hay `DH⊥EF`

$\\$

$\\$

$b,$

Do `ΔDEF` cân tại `D`

`-> hat{MEH} = hat{NFH}`

Xét `ΔMEH` và `ΔNFH` có :

`hat{EMH} = hat{FNH} = 90^o`

`EH = FH` (Do `H` là trung điểm của `EF`)

`hat{MEH} = hat{NFH}` (chứng minh trên)

`-> ΔMEH = ΔNFH` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> MH = NH` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔHMN` cân tại `H`

$\\$

$\\$

$c,$

Do `ΔMEH = ΔNFH` (chứng minh trên)

`-> EM =FN` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}DM =DE - EM\\DN = DF - FN\end{array} \right.\)

mà `DE =DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`, `EM=FN` (chứng minh trên)

`-> DM =DN`

`-> ΔDMN` cân tại `D`

`-> hat{DMN} = hat{DNM} = (180^o - hat{D})/2` `(1)`

Do `ΔDEF` cân tại `D`

`-> hat{DEF} = hat{DFE} = (180^o - hat{D})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{DMN} = hat{DEF} (= (180^o - hat{D})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ MN//EF$

$\\$

$\\$

$d,$

Do `ΔDEH = ΔDFH` (chứng minh trên)

`-> hat{EDH} = hat{FDH}` (2 góc tương ứng)

hay `DH` là tia phân giác của `hat{EDF}` `(3)`

Xét `ΔDEK` và `ΔDFK` có :

`hat{DEK} = hat{DFK} = 90^o`

`DK` chung

`DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)

`-> ΔDEK = ΔDFK` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{EDK} = hat{FDK}` (2 góc tương ứng)

hay `DK` là tia phân giác của `hat{EDF}` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> D,H,K` thẳng hàng