Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :

`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`

`AH` chung

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔABH = ΔACH` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\\$

$\\$

$b,$

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\\ \widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\end{array} \right.\) (2 góc kề bù)

mà `hat{ABC} = hat{ACB}` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{ABM} = hat{ACN}`

$\\$

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có :

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`hat{ABM} = hat{ACN}` (chứng minh trên)

`BM = CN` (giả thiết)

`-> ΔABM = ΔACN` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AM = AN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAMN` cân tại `A`

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `ΔAMN` cân tại `A`

`AH` là đường cao

`-> AH` là tia phân giác của `hat{MAN}` `(1)`

$\\$

Xét `ΔBDM` và `ΔCEN` có :

`hat{BDM} = hat{CEN} = 90^o`

`BM = CN` (giả thiết)

`hat{M} = hat{N}` (Vì `ΔAMN` cân tại `A`)

`-> ΔBDM = ΔCEN` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> MD = NE` (2 cạnh tương ứng)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AD = AM - MD\\AE = AN - NE\end{array} \right.\)

mà `AM = AN, MD = NE`

`-> AD = AE`

Xét `ΔADK` và `ΔAEK` có :

`hat{ADK} = hat{AEK} = 90^o`

`AD =AE` (chứng minh trên)

`AK` chung

`-> ΔADK = ΔAEK` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{DAK} = hat{EAK}` (2 cạnh tương ứng)

hay `AK` là tia phân giác của `hat{MAN}` `(2)`

$\\$

Từ `(1)` và `(2)`

`-> A,H,K` thẳng hàng

Bài `6` :

`c.`

Vì `DeltaAMN` cân tại `A`, `AH` là đường cao

`=>AH` là tia phân giác của `hat{MAN}`    `(1)`

Xét `DeltaBDM` và `DeltaCEN` có :

   `hat{BDM}=hat{CEN}=90^0`

   `hatM=hatN` ( `DeltaAMN` cân tại `A` )

   `BM=CN` ( gt )

`=>DeltaBDM=DeltaCEN` ( cạnh huyền `-` góc nhọn )

`=>MD=NE ( `2` cạnh tương ứng )

Mà `AM=AN,MD=NE`

`=>AD=AE`

Xét `DeltaADK` và `DeltaAEK` có :

   `hat{ADK}=hat{AEK}=90^0`

   `AD=AE` ( cmt )

   `AK` : cạnh chung

`=>DeltaADK=DeltaAEK` ( cạnh huyền `-` cạnh góc vuông )

`=>hat{DAK}=hat{EAK}` ( `2` cạnh tương ứng )

`=>AK` là tia phân giác `hat{MAN}`    `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` 

`=>3` điểm `A,H,K` thẳng hàng `(đpcm)`