Đáp án:

`1,`

Xét `ΔABC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2  = 25\\BC^2 = 5^2 = 25\end{array} \right.\)

`-> AB^2  + AC^2 = BC^2 (=25)`

`-> ΔABC` vuông tại `A` (Pitago đảo)

$\\$

$\\$

`2,`

`a,`

Có : `AB = BD` (giả thiết)

`-> ΔABD` cân tại `B`

`-> hat{BAD} = hat{BDA}`

Có : `hat{HAD} + hat{BDA} = 90^o` (Do `AH` là đường cao)

Có : `hat{DAE} + hat{BAD} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

mà `hat{BDA} = hat{BAD}` (chứng minh trên)

`-> hat{HAD} = hat{DAE}`

Xét `ΔHAD` và `ΔEAD` có :

`hat{HAD} = hat{DAE}` (chứng minh trên)

`AH = AE` (giả thiết)

`AD` chung

`-> ΔHAD = ΔEAD` (cạnh - góc - cạnh)`

`-> hat{AHD} = hat{AED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHD} = 90^o`

`-> hat{AED} = 90^o`

hay `DE⊥AC`

$\\$

$b,$

Do `ΔHAD = ΔEAD` (chứng minh trên)

`-> DH = DE` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔFHD` và `ΔCED` có :

`hat{FHD} = hat{CED} = 90^o`

`hat{FDH} = hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)

`DH = DE` (chứng minh trên)

`-> ΔFHD = ΔCED` (góc - cạnh - góc)

`-> HF = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AH + HF = AF\\AE + EC = AC\end{array} \right.\)

mà `AH = AE, HF = EC`

`-> AF = AC`

`-> ΔACF` cân tại `A`

$\\$

`c,`

Có : `AB = BD` (giả thiết) `(1)`

Có : `AE = AH` (giả thiết) `(2)`

Xét `ΔDEC` có :

`hat{DEC} = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> EC < DC` `(3)`

Đem `(1) + (2) + (3)` vế với vế ta được :

`BD + AH + DC > AB + AE + EC`

`-> (BD + DC) + AH > AB + (AE + EC)`

`-> BC + AH > AB + AC`