Bài 5 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn.

b) Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu.

Hướng dẫn giải

a) Đúng vì mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.

b) Không đúng, chẳng hạn:

Cho tứ diện \(ABCD\) nội tiếp mặt cầu \((S)\). Lấy một điểm \(E\) nằm khác phía với \(A\) đối với mp \((BCD)\) sao cho \(E\) không nằm trên \((S)\). Xét hình đa diện \(ABCDE\) có sáu mặt là các tam giác \(ABC, ABD, ADC, EBC, ECD, EDB\). Các mặt đó đều nội tiếp đường tròn nhưng hình đa diện \(ABCDE\) không nội tiếp mặt cầu.

Thật vậy nếu có mặt cầu đi qua các đỉnh \(A, B, C, D, E\) thì nó phải đi qua \(A, B, C, D\) nên nó chính là mặt cầu \((S)\), nhưng \(E\) lại không nằm trên \((S)\), vô lí.