Bài 2 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 2.

a) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A, B\) cho trước.

b) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A, B, C\) cho trước.

c) Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước.

d) Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn.

Hướng dẫn giải

a) \(I\) là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A, B\) cho trước khi và chỉ khi \(IA = IB\). Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

b) \(I\) là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt \(A, B, C\) cho trước khi và chỉ khi \(IA = IB = IC\). Vậy:

+ Nếu ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng thì tập hợp các điểm \(I\) là trục của đường trong ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

+ Nếu ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng thì tập hợp các điểm \(I\) là rỗng.

c) \(I\) là tâm của mặt cầu đi qua đường tròn \((C)\) cho trước khi và chỉ khi \(I\) cách đều mọi điểm của đường tròn. Vậy tập hợp các điểm \(I\) là trục của đường tròn \((C)\).

d) Gọi \(M\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn \((C)\). Lấy điểm \(A\) nằm trên \((C)\) và gọi \(I\) là giao điểm của trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của \(MA\). Khi đó mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R = IA = IM\) là mặt cầu đi qua đường tròn \((C)\) và đi qua điểm \(M\).