Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh \(A \notin \left( {BCD} \right)\)

b) \(AH = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)\)

c) \({\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]\) là 1 VTPT của mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\alpha)\) đi qua A.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)\),  \(\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)\)

Xét vectơ \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\)    \( \Rightarrow \overrightarrow a  = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2)\)

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow {a'}  = (8; -3; -2)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\(8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0\) \( \Leftrightarrow  8x - 3y - 2z + 4 = 0\)

Thay toạ độ của \(A\) vào phương trình của \((BC)\) ta có:

\(8.(-2) - 3.6 - 2.3 + 4 = -36 ≠ 0\)

Điều này chứng tỏ điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) hay bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng, và \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện chính là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\):

\(AH = d(A,(BCD))\) = \({{\left| {8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6; 3)\), \(\overrightarrow {CD}  = ( 1; 2; 1)\)

Mặt phẳng \((α)\) chứa \(AB\) và \(CD\) chính là mặt phẳng đi qua \(A(-2; 6; 3)\) và nhận cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {CD} \) làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;3} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {1;2;1} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)

Vậy phương trình của \((α)\) là:

\(1(x + 2) + 0(y - 6) - 1(z - 3) = 0 \)\( \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\)