Bài 4 trang 90 SGK Hình học 12

Đề bài

Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\)                      d': \(\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \({d}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\) và \(d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}' + t'{a_1}'\\y = {y_0}' + t'{a_2}'\\z = {z_0}' + t'{a_3}'\end{array} \right.\).

Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t' sau: 

\[\,\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + t{a_1} = {x_0}' + t'{a_1}'\\
{y_0} + t{a_2} = {y_0}' + t'{a_2}'\\
{z_0} + t{a_3} = {z_0}' + t'{a_3}'
\end{array} \right.\]

có đúng 1 nghiệm.

Lời giải chi tiết

Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 1+at=1-t' &(1)\\ t = 2+2t' & (2)\\ -1+2t=3-t' & (3) \end{matrix}\right.\)

Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.

Nhân hai vế của phương trình (3) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (2), ta có \(t = 2\); \(t' = 0\). Thay vào phương trình (1) ta có \(1 + 2a = 1 => a =0\).

Vậy \(a = 0\) thì d và d' cắt nhau.