Bài 2 trang 89 SGK Hình học 12

Đề bài

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng 

\(d\):  \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\)

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) \((Oxy)\) ;

b) \((Oyz)\).

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Phương pháp viết phương trình hình chiếu \((d')\) của đường thẳng \((d)\) trên mặt phẳng \((P)\):

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) chứa \((d )\) và vuông góc với \((P\)).

- \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow u }_{\left( d \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right]\).

- \(M \in d \Rightarrow M \in \left( Q \right)\) (với M là một điểm bất kì).

Bước 2: \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Viết phương trình đường thẳng \((d')\).

Cách 2:

Lấy 2 điểm \(A,B\) bất kì thuộc d, gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó \((d')\) chính là đường thẳng \(A'B'\).

Lời giải chi tiết

a) Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(d\) và \((P) ⊥ (Oxy)\), khi đó \(∆ = (P)  ∩ (Oxy)\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\) ;  vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  \((Oxy)\), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và  \(\overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0\).

Đường thẳng hình chiếu \(\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)\) thỏa mãn hệ: \(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

Điểm \(M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆\) ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của \(∆\) vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}_{(P)}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)\).

Phương trình tham số của hình chiếu \(∆\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\).

b) Mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình \(x = 0\).

Lấy \(M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d\) và  \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\), hình chiếu vuông góc của 

\(M_1\) trên \((Oyz)\) là \(M_1\)'\((0 ; -3 ; 1)\), hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó.

Đườn thẳng \(∆\) qua \(M'_1; \, {M_1}'{M_2}\) chính là hình chiếu vuông  góc của \(d\) lên \((Oyz)\).

Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\).

Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).