Bài 5 trang 39 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Một hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm\) và có khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7 cm\).

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục \(3 cm\). Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh\), 

Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h\).

Với \(r;h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục ta được thiết diện là một hình chữ nhật với một kích thước của hình chữ nhật bằng chiều cao hình trụ.

Sử dụng định lí Pirtago để đính cạnh còn lại của hình chữ nhật sau đó tính diện tích hình chữ nhật đó.

Lời giải chi tiết

a) Theo đầu bài, hình trụ có chiều cao \(h = 7 cm\) và bán kính đáy \(r = 5 cm\).

Vậy diện tích xung quanh bằng: \(S_{xq}= 2πrh = 140π\)(\(cm^2\))

Thể tích của khối trụ là: \(V = πr^2h = 175π\) (\(cm^3\))

b) Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao của hình trụ bằng \(7 cm\). Giả sử thiết diện là \(ABB_1A_1\). Ta có \(AA_1 = 7 cm\).

Gọi H là trung điểm của AB ta có: \(d\left( {O;\left( {AB{B_1}{A_1}} \right)} \right) = OH = 3cm\).

Do tam giác \(OAH\) vuông tại \(H\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) nên áp dụng định lí Pitago ta có: \(AH^2 = OA^2 – OH^2 = 25 – 9 = 16\).

\(\Rightarrow AH = 4 cm \Leftrightarrow AB = 8 cm\).

Vậy diện tích của thiết diện là: \(S=AB.AA_1=8.7=56\) (\(cm^2\)).