Bộ công thức Logarit chuẩn, đầy đủ nhất dành cho các bạn học sinh

 Bộ công thức Logarit chuẩn, đầy đủ nhất dành cho các bạn học sinh

Trong toán học, logarit là một học phần khá quan trọng trong chương trình đại số và giải tích. Khái niệm này có lẽ không còn quá xa lạ với các bạn học sinh.  Nắm bắt được sự quan tâm của bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh và quý phụ huynh, chúng tôi mong muốn được cung cấp bộ công thức chuẩn về Logarit, hy vọng chúng sẽ đáp ứng được nhu cầu bạn đọc!

I. Khái niệm

Logarit là gì?

Trong toán học, logarit (Tiếng Anh là Logarithm) là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Điều đó có nghĩa logarit của một số là số mũ của một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra con số đó. Trong trường hợp đơn giản logarit là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Cho hai số dương a và b với a≠1. Số α thỏa mãn đẳng thức \(a^α = b\) được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là \(log_ba.\)

\({\displaystyle \alpha =\log _{a}b\Leftrightarrow a^{\alpha }=b}\)

II. Các công thức logarit

1. Các công thức hàm Logarit cơ bản

• \(log_a1=0,log_aa=1\)
• \(log_aa^m=m\)
• \(a^{log_ab}=b\)
• \(log_a(x.y)=log_ax+log_by\)
• \(log_a(\dfrac{x}{y})=log_ax-log_ay\)
• \(log_a(\dfrac{1}{y})=-log_ay\)
• \(log_a(\dfrac{x}{y})=-log_a(\dfrac{y}{x})\)
• \(log_ax^\alpha=\alpha log_ax, log_ax^2=2log_a|x|\)
• \(log_{u^\alpha}x=\dfrac{1}{\alpha}log_ux, log_{a^\beta}x^\alpha=\dfrac{\alpha}{\beta}log_ax\)

2. Công thức đạo hàm Logarit

Đạo hàm của hàm số logarit sơ cấp

• \((x^\alpha)'=\alpha .x^{\alpha-1}\)
• \((e^x)'=e^x\)
• \((a^x)'=a^x.lna\)
• \((lnx)'=\dfrac{1}{x}\)
• \((log_ax)'=\dfrac{1}{x.lna}\)

Đạo hàm hàm số logarit hợp

• \((u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha-1}.u'\)
• \((e^u)'=e^\alpha.u'\)
• \((a^u)'=a^\alpha.u'.lnu\)
• \((lnu)'=\dfrac{u'}{u}\)
• \((log_au)'=\dfrac{u'}{u.lna}\)

Xem ngay: Công thức Logarit

3. Phương trình Logarit

Các phương pháp giải phương trình Logarit

Phương pháp 1: Phương pháp đưa hàm logarit về cùng cơ số:

• Dạng 1: \(log_a f(x)=b \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}a>0,a\neq 1\\f(x)=a^b\end{array}\right.\)
• Dạng 2: \(log_a f(x)= log_a g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}a>0,a\neq 1\\f(x)>0,g(x)>0\\f(x)=g(x)\end{array}\right.\)
• Lưu ý:

- Khi giải phương trình chứa ẩn trong dấu lôgarit, thì ta phải đặt điều kiện cho biểu thức trong dấu lôgarit lớn hơn 0.

- Nếu ẩn nằm ở cơ số thì ta phải đặt điều kiện cho cơ số lớn hơn 0 và khác 1.

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Phương pháp chung:

• Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình logarit.
• Bước 2: Đặt ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ). Sau đó chuyển phương trình đã cho thành 1 phương trình đại số với 1 ẩn phụ, 2 ẩn phụ hoặc 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ, 2 ẩn phụ.
• Bước 3: Giải phương trình, hệ phương trình với ẩn phụ, rồi từ nghiệm ẩn phụ ta giải tìm nghiệm ban đầu.

Phương pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit

Đây là dạng đặc biệt, ít gặp. Khi áp dụng phương pháp này, ta dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit, từ đó suy ra nghiệm của phương trình.

Hot: Tổng hợp các Mẹo Toán học hữu ích nhất

4. Bất phương trình Logarit

Dạng 1: Dạng cơ bản

• \({\log _a}f(x) > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > {a^b}\,khi\,a > 1\\f(x) < {a^b}\,\,khi\,\,0 < a < 1\end{array} \right.\)Điều kiện f(x) > 0
• \({\log _a}f(x) < b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) < {a^b}\,\,khi\,a > 1\\f(x) > {a^b}\,\,khi\,\,0 < a < 1\end{array} \right.\)Điều kiện f(x) > 0

Dạng 2: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số

• \({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,a > 0\\f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.\)Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0
• \({\log _a}f(x) < {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\,khi\,a > 0\\f(x) < g(x)\,khi\,0 < a < 1\end{array} \right.\)Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0

Dạng 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Có thể bạn quan tâm: 

• Nguyên hàm
• Giới hạn
• Bộ công thức đạo hàm chuẩn, đầy đủ nhất dành cho các bạn học sinh THPT

III. Bài tập Logarit

Bài 1: Giải bất phương trình: \(\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x \le 2\)?

Điều kiện: x > 0

Đặt: \(t = {\log _{0,5}}x\)

Khi đó: \(\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x \le 2 \Leftrightarrow {t^2} + t \le 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 1\)

\(\Leftrightarrow - 2 \le {\log _{0,5}}x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {\left( {0,5} \right)^{ - 2}}\\x \ge 0,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\ x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: \(S=[\dfrac{1}{2};4]\)

Bài 2: Xây dựng phương trình lôgarit dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ. Xét phương trình bậc hai \(t^2+t-2=0\)

Lấy \(t=log_2(3^x-1)\) ta được phương trình:

\(log_2^2(3^x-1)+log_2(3^x-1)-2=0\\ \Leftrightarrow log_2(3^x-1)[log_2(3^x-1)+1]=2\\ \Leftrightarrow log_2(3^x-1).log_2(2.3^x-2)=2\)

Chúng tôi hy vọng rằng với những kiến thức về Logarit nói trên sẽ cung cấp cho bạn một lượng kiến thức cần thiết để giải các bài tập liên quan cũng như làm tốt các bài thi. Với trang web học hiện đại bạn có hoàn toàn có thể học mọi lúc, mọi nơi và vô cùng dễ hiểu. Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!