Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 42. Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)

b.  \(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)

c.  \({1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}}\)

d.  \(\sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{& \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) - \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2\cos x + 1 = 0} \cr {\sin 2x - \cos 2x = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\cos x = - {1 \over 2}} \cr {\tan 2x = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr} } \right.,k \in\mathbb Z \cr} \) 

b.

\(\eqalign{& \sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x \cr & \Leftrightarrow = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = \sin 5x \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin 5x \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{5x = x + {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {5x = {{3\pi } \over 4} - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over {16}} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 3}} \cr} ,k \in\mathbb Z} \right. \cr} \) 

c. ĐKXĐ : \(\sin4x ≠ 0\) (điều kiện này đã bao gồm \(\sin 2x ≠ 0\) và \(\cos2x ≠ 0\)).

Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với \(\sin4x\) :

\(\eqalign{& {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {2 \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sin 2x}} + {1 \over {\cos 2x}} = {1 \over {\sin 2x\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = k2\pi } \cr {2x = {\pi \over 2} + k2\pi } \cr} } \right. \cr} \) 

Ta thấy : Nếu \(2x = k2π\) thì \(\sin2x = 0\); nếu \(2x = {\pi \over 2} + k2\pi \) thì \(\cos2x = 0\), nên các giá trị đó của \(x\) đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d. ĐKXĐ : \(\sin2x ≠ 1\). Với điều kiện đó, ta có:

\(\eqalign{& \sin x + \cos x = {{\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} \cr & \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}}} \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - {1 \over {\cos x - \sin x}}} \right) = 0 \cr & +)\,\,\sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \cr & +)\,\,{1 \over {\cos x - \sin x}} = 1 \Leftrightarrow \cos x - \sin x = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k2\pi \,\left( \text{nhận} \right)} \cr {x = - {\pi \over 2} + k2\pi \,\left( \text{nhận}\right)} \cr} } \right. \cr} \)