Tổng hợp kiến thức cần nhớ về khoảng cách

gửi đến bạn bài viết tổng hợp các kiến thức về khoảng cách, những lý thuyết liên quan như khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, công thức tính khoảng cách,...

I) Tìm hiểu chung

Phần này chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu tất cả những khái niệm như khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng.

1) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng)

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng) là khoảng cách giữa hai điểm, trong đó có một điểm là hình chiếu của điểm còn lại trên mặt phẳng.

2) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Có hai đường thẳng phân biệt, không song song cùng cắt và vuông góc với đường thẳng thứ 3. Đưởng thẳng thứ 3 được gọi là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng kia.

- Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

3) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (từ đường thẳng đến mặt phẳng) song song

- Khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng được gọi là khoảng cách 2 mặt phẳng song song.

- Khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng tới mặt phẳng gọi là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng.

II) Các công thức tính khoảng cách

1) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho điểm \(A_0 (x_0; y_0)\) và đường thẳng \(\Delta\): \(ax + by + c = 0\) và điểm \(A_0 (x_0; y_0)\)

Suy ra công thức tính khoảng cách như sau:

\(d(A_0, \Delta)\dfrac {\left | ax_0 + by_0 + c \right |}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

2) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \(M_0\) nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chính là khoảng cách giữa 2 điểm.

\(d(M_0, (P)) = M_0H\)

3) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ta áp dụng một trong các phương pháp dưới đây để tính.

3.1) Phương pháp 1

Chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa mặt phẳng với đường thẳng.

VD: \(d (\Delta; \Delta') = d (\Delta; (\alpha))\)

3.2) Phương pháp 2

Ta dựng 2 mặt phẳng song song, chúng lần lượt chứa 2 đường thẳng phân biệt. Khoảng cách cần tính giữa 2 đường thẳng bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng.

VD: \(d (\Delta; \Delta') = d ((\alpha)(\beta ))\)

3.3) Phương pháp 3: Ta dựng đoạn vuông góc chung rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.

Ở phương pháp này ta phải xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: Hai đường thẳng vừa chéo vừa vuông góc

- Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc

4) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến đường thẳng thuộc mặt phẳng kia.

Suy ra ta có công thức sau:

\(d((\alpha, \beta) = d(M; \alpha), M \in (\alpha)\)

III) Bài tập vận dụng

Sau đây là một số bài tập vận dung mà tổng hợp được nhằm giúp bạn nắm chắc hơn nữa về các công thức tính khoảng cách.

Bài 1: Cho hình tứ diện S.ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa 2 đường thẳng:

a, SA và Bc

b, AM và SC

Đáp án

a) \(\dfrac {a\sqrt{2}}{2}\)

b) \(\dfrac {a\sqrt{5}}{5}\)

Bài 2: Cho hình chóp O.ABCD, biết cạnh OA = \(a\sqrt{6}\) và vuông góc với mặt phẳng đáy nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn, đường kính AD = 2a.

Hỏi:

a, \(d (A; (SCD))\); \(d (B; (SCD))\)

b) \(d(AD; (SBC))\)

Đáp án

a, \(a\sqrt{2}\); \(\dfrac {a\sqrt{2}}{2}\)

b) \(\dfrac {a\sqrt{6}}{3}\)

Trên đây là bài viết đã tổng hợp được những kiến thức cần nhớ về khoảng cách như, khoảng cách từ 1 đểm đến 1 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau,... Hãy để lại đáp án chi tiết của bạn ở phía dưới comment nhé!