Bài 4 trang 45 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3), \,  B(4;2)\)

a) Tìm tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(DA = DB\);

b) Tính chu vi tam giác \(OAB\);

c) Chứng tỏ rằng \(OA\) vuông góc với \(AB\) và từ đó tính diện tích tam giác \(OAB.\)

Hướng dẫn giải

+) Điểm \(D \in Ox \Rightarrow D(x_0; \, 0).\)

\(\begin{array}{l}
+ )\;\;DA = DB \Leftrightarrow D{A^2} = D{B^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_A} - {x_D}} \right)^2} + {\left( {{y_D} - {y_A}} \right)^2} \\= {\left( {{x_B} - {x_D}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_D}} \right)^2}.
\end{array}\)

+) Chu vi tam giác \(OAB:\;\;\;C = OA + OB + AB.\)

+) \(OA \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB}  = 0.\)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.AB.\)

Lời giải chi tiết

a) \(D\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ của \(D\) là \((x; 0)\).

 Ta có : \(\overrightarrow {DA}  = \left( {1 - x;\;\;3} \right),\;\;\overrightarrow {DB}  = \left( {4 - x;\;2} \right).\)

 \(\eqalign{b) & O{A^2} = {1^2} + {3^3} = 10 \Rightarrow OA = \sqrt {10} \cr & O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = 2\sqrt 5 \cr & A{B^2} = {(4 - 1)^2} + {(2 - 3)^2} = 10 \cr&\Rightarrow AB = \sqrt {10} \cr} \)

Chu vi tam giác \(OAB\) là: \(\sqrt {10}  + 2\sqrt 5  + \sqrt {10}=2\sqrt {10}  + 2\sqrt 5.   \)

c) Ta có \(\vec{OA}= (1; 3)\)

            \(\vec{AB} = (3; -1)\)

\(\vec{OA} .\vec{AB} = 1.3 + 3.(-1) = 0 \Rightarrow \vec{OA}\) ⊥ \(\vec{AB}\) 

\({S_{OAB}}=\frac{1}{2}|\vec{OA}| .|\vec{AB}| =\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\sqrt{10}\)\( =5\) (đvdt)